Термины механики сплошной среды - Теория полета (аэродинамика и динамика полета)

Скорость будем рассматривать как поле вектора в каждой точке пространства, задаваемой радиус-вектором этой точки с координатами x, y, z, в каждый момент времени t:

(1.1)

Или по координатам:

(1.2)

Очевидный смысл этих уравнений заключается в том, что скорость определяется, как производная по времени от функции местоположения частицы cреды (x, y,z, t).

Уравнения (1.1) или (1.2), задающие положение (x, y,z, t) частицы в пространстве в каждый момент времени как решение дифференциального уравнения, можно рассматривать как траекторию ее движения.

Если поле вектора скорости сплошной среды

Не зависит от времени в каждой точке пространства, то движение называется стационарным или установившимся. В общем случае

И движение называется нестационарным или неустановившимся.

Линиями тока в механике сплошной среды называются линии, которые в каждый фиксированный момент времени имеют в каждой своей точке касательные, совпадающие с вектором скорости. Таким образом, частицы среды, попавшие на линию тока, не имеют составляющей скорости поперек нее и не могут ее пересечь. Линии тока необходимы для получения в теории математически строгих выводов. На практике линии тока в прозрачной жидкости с взвешенными частицами нерастворимой краски можно зафиксировать фотографированием с маленькой выдержкой короткие следы этих частиц, сливаясь, вырисовывают линии тока. Уравнение линии тока в момент времени t запишется в терминах аналитической геометрии, как условие коллинеарности векторов:

.(1.3)

Таким образом, картина линий тока в нестационарном движении все время меняется. При установившемся движении отсутствие в уравнении (1.3) времени t приводит к совпадению линий тока с траекториями частиц.

Трубчатая поверхность, образованная линиями тока, проходящими через некоторую замкнутую кривую, называется трубкой тока. Частицы сплошной среды не пересекают стенок трубки тока, не имея нормальных к ним составляющих скорости.

Если компоненты вектора скорости не обращаются в нуль и вместе со своими первыми производными однозначны и не имеют разрывов, то решение уравнения (1.3) существует и единственно. В противоположном случае существование или единственность может нарушаться, т. е. в некоторых точках пространства линии тока могут ветвиться или вырождаться в точку. Такие точки называются особыми или критическими.

Напомним некоторые математические термины [4] применительно к скорости, заданной в пространстве полю скоростей.

Вектором будем обозначать поверхность с указанным направлением нормали, выражающимся через единичные векторы осей координат:

,

А скаляром S только площадь этой поверхности.

Потоком скорости через поверхность с заданным вектором нормали называется поверхностный интеграл

(1.4)

Где Vn обозначает проекцию скорости на единичный вектор нормали к поверхности.

Градиентом называется векторная функция скаляра:

.(1.5)

Ротор скорости (вихрь) определяется формулой:

,(1.6)

А дивергенция скорости:

.(1.7)

Циркуляцией скорости по замкнутому контуру L с определенным направлением обхода называется криволинейный интеграл:

.(1.8)

Известные теоремы векторных полей [4] применимы и к полю скоростей. Теорема Стокса:

(1.9)

Справедлива при ориентации обхода контура L и нормали к натянутой на него поверхности по правилу правого винта, а теорема Остроградского-Гаусса:

(1.10)

При условии, что замкнутая поверхность ограничивает объем W.

Полную производную по времени от скаляра A(,t) можно определить по известной [4] формуле:

(1.11)

Производную

От интеграла по произвольному подвижному объему W, где от t зависит не только подынтегральная функция, но и объем, вычислим с помощью определения производной:

В последнем пределе W'W образуется сдвигом элементарных площадок dS поверхности S, ограничивающей W, на расстояние VndS. Кроме того, при

T 0: f(,t+t) f(,t)

И деформированная поверхность S S, поэтому предел принимает значение

(сравните с (1.4)) или

По теореме Остроградского-Гаусса (1.10). Откуда в силу уравнения (1.11):

(1.12)

Вектор

0

Тоже можно рассматривать, как поле вектора ротора скорости

(,t)

вихревое поле. Непосредственной проверкой легко убедиться, что всегда

Div = 0.

Отсюда по теореме Остроградского-Гаусса следует, что поток ротора скорости сквозь любую замкнутую поверхность равен нулю:

.(1.13)

В вихревом поле по аналогии с полем скоростей выделяют вихревую линию:

(1.14)

И вихревую трубку. Так как через боковую поверхность вихревой трубки по определению нет потока ротора скорости, то из (1.13) вытекает постоянство такого потока через любое ее поперечное сечение (первая кинематическая теорема Гельмгольца о вихрях). Эта величина называется интенсивностью вихревой трубки. Согласно теореме Стокса (1.9) она равна циркуляции скорости по контуру, образующему вихревую трубку:

.(1.15)

Похожие статьи




Термины механики сплошной среды - Теория полета (аэродинамика и динамика полета)

Предыдущая | Следующая