Стратегия удержания КА на гало-орбите вокруг точки L2 системы Солнце-Земля, Математическая модель - Космический аппарат
Математическая модель
Для описания движения КА по ограниченной орбите введем вращающуюся систему координат, связанную с точкой L2. Центр системы координат расположен в точке L2, ось X совпадает с осью Солнце-Земля и направлена от Солнца к Земле, ось Z направлена в северный полюс эклиптики, ось Y дополняет систему координат до правой тройки. Иллюстрация системы координат приведена на рис. 2. Далее в работе всегда подразумевается данная система координат, если не оговорено иное.

Рис. 2. Вращающаяся система координат, связанная с точкой L2.
Движение КА в системе n тел в инерциальной системе координат описывается следующими уравнениями:

(1)
Где n - количество притягивающих центров, G - гравитационная постоянная, R - радиус-вектор КА, MI - масса i-го тела, RI - радиус-вектор i-го тела.

Во вращающейся системе координат, при переходе к ограниченной задаче трех тел () уравнения (1) могут быть приведены к виду [1]:

(2)
Где C2 - параметр, зависящий от масс тел, AX, aY, aZ - возмущающие ускорения, которые являются функциями координат КА и эксцентриситета орбиты КА.
Уравнения (2) допускают линеаризацию в окрестности точки L2. Тогда они принимают следующий вид [2]:

(3)
Система (3) имеет следующее решение:

(4)










Где, , , , , - фаза колебаний в плоскости XY, - фаза колебаний по оси Z. Коэффициенты, , , и фазы, зависят от начальных условий.





Решения и представляют собой линейную комбинацию трех компонент: ограниченной (и ), экспоненциально возрастающей и убывающей к нулю. Будем предполагать, что и решение системы (1), записанной во вращающейся системе координат, связанной с точкой L2, также представимо в виде линейной комбинации ограниченной, возрастающей и убывающей компонент:








Где, - возрастающие компоненты, , - убывающие компоненты, , , - ограниченные компоненты.


Коэффициенты и могут быть как положительными, так и отрицательными. Поэтому термины "возрастающая" и "убывающая" компоненты подразумевают возрастание и убывание по модулю.
Для длительного удержания аппарата в окрестности точки L2 требуется, чтобы коэффициент возрастающей компоненты равнялся нулю.
Ограниченные орбиты, периоды обращения КА по которым по осям Y и Z совпадают, называются гало-орбитами. На рис. 3-5 представлены проекции движения КА на гало-орбите на плоскости XY, YZ, XZ.

Рис. 3. Проекция движения КА на гало-орбите на плоскость XY.
Рис. 4. Проекция движения КА на гало-орбите на плоскость YZ.


Рис. 5. Проекция движения КА на гало-орбите на плоскость XZ.
Из рис. 3-5 можно видеть, что гало-орбиты симметричны относительно плоскости XZ и несимметричны относительно плоскости эклиптики и плоскости YZ. В зависимости от того, в положительном или в отрицательном направлении оси Z амплитуда гало-орбиты является большей, гало-орбиты называют северными и южными. Их изображение в проекции на плоскость XZ представлено на рис. 6. Гало-орбита, изображенная на рис. 3-5, является южной. Амплитуды гало-орбиты определяются ее начальными координатами [22].

Рис. 6. Проекция движения КА по северной и южной гало-орбитам на плоскость XZ.
Похожие статьи
-
Математическая модель Для описания движения КА по ограниченной орбите введем вращающуюся систему координат, связанную с точкой L2. Центр системы...
-
Математическая модель В данной работе, для описания движения КА, была использована вращающаяся система координат с фиксированным направлением...
-
Точками либрации в ограниченной задаче трех тел, описывающей движение тела малой массы в гравитационном поле, создаваемом двумя массивными телами,...
-
Как было сказано в предыдущем разделе, для длительного удержания КА на гало-орбите требуется, чтобы коэффициент перед возрастающей компонентой равнялся...
-
Стратегиям удержания КА на ограниченных орбитах (гало-орбитах, орбитах Лиссажу и прочих) посвящены многие статьи. В данном разделе приведены краткие...
-
В рамках данной работы производился расчет параметров отлетного вектора при заданных ограничениях на геометрию орбиты. С учетом заданных характеристик Az...
-
Направление неустойчивости является направлением, исполнение импульса в котором наиболее эффективно. На основе методики, изложенной в разделе 4, был...
-
Орбиты, для которых были рассчитаны направления неустойчивости в предыдущем разделе, лежат в плоскости эклиптики (плоскости XY). Однако также необходимо...
-
Стратегиям удержания КА на ограниченных орбитах (гало-орбитах, орбитах Лиссажу и прочих) посвящены многие статьи. В данном разделе приведены краткие...
-
Зависимость направления неустойчивости от координат X, Y КА образует поверхность, проекции которой представлены на рис. 36-38. Рис. 36. Точки, для...
-
Описание стратегии удержания КА - Космический аппарат
Как было сказано в предыдущем разделе, для длительного удержания КА на гало-орбите требуется, чтобы коэффициент перед возрастающей компонентой равнялся...
-
В работе была разработана методика расчета гало-орбит вокруг точки либрации L2 системы Солнце-Земля. Для расчета начальной скорости КА и величин...
-
Как было сказано выше, в реальности существуют технические ограничения на точность определения положения КА, скорости КА, а также величину и направление...
-
Расчет направления устойчивости производился для 244 плоских орбит Ляпунова, имеющих следующие начальные координаты: - X = X0 км, -1200000?...
-
Для моделирования движения КА на гало-орбите был разработан сценарий в пакете GMAT. Он позволяет моделировать движение КА по ограниченной орбите с...
-
Типы ограниченных орбит вокруг точки L2 системы Солнце-Земля Анализируя решение (2.4) линеаризованной системы (2.3), можно заключить, что амплитуды...
-
Рис. 33 Иллюстрирует эволюцию максимального отклонения от номинальной траектории при изменении начального положения аппарата. На рисунке представлены...
-
Эффективная коррекция орбиты КА в окрестности точки либрации подразумевает изменение скорости КА с целью компенсации влияния возрастающей компоненты (4)....
-
Исследование зависимости энергетики поддержания гало-орбиты от места и направления исполнения импульса Суммарный импульс, затрачиваемый на коррекции для...
-
Алгоритм подбора начальной скорости и величины корректирующего импульса Описанные алгоритмы были реализованы в программе GMAT (General Mission Analysis...
-
Направление неустойчивости является направлением, исполнение импульса в котором наиболее эффективно. На основе методики, изложенной в разделе 4, был...
-
Математическое описание модели Прямое солнечное излучение на модели КА рассчитывается аналогичным образом как для поверхности Луны, т. е. делая допущения...
-
В реальности невозможно определить вектор состояния космического аппарата с бесконечной точностью. Кроме того, существуют также технические ограничения...
-
Введение - Космический аппарат
Точками либрации в ограниченной задаче трех тел, описывающей движение тела малой массы в гравитационном поле, создаваемом двумя массивными телами,...
-
1) Возмущающееся ускорение, вызванное нецентральностью гравитационного поля Земли. Рассмотрим потенциал поля притяжения Земли. При точном расчете...
-
Поскольку характеристики околоземной орбиты зависят от времени старта и космодрома, с которого осуществляется запуск, далеко не все комбинации...
-
Целью работы является разработка инструментария, позволяющего рассчитывать траектории перелета от Земли в окрестность точки либрации L2 системы...
-
В работе реализована методика расчета ограниченных орбит вокруг точки либрации L2 системы Солнце-Земля. Движение КА в окрестности точки либрации...
-
Поскольку решения уравнений (2.2), описывающих движение КА в окрестности точек либрации, являются неустойчивыми, поиск начальных условий, приводящих к...
-
В системах двух массивных тел, вращающихся вокруг общего барицентра с постоянной угловой скоростью, существует пять точек, будучи помещенным в которые,...
-
Исследование зависимости энергетики поддержания гало-орбиты от места и направления исполнения импульса Суммарный импульс, затрачиваемый на коррекции для...
-
Известно, что перелет на орбиту вокруг точки либрации L2 системы Солнце-Земля может быть осуществлен совершением одного импульса на низкой околоземной...
-
Алгоритм подбора начальной скорости и величины корректирующего импульса Описанные алгоритмы были реализованы в программе GMAT (General Mission Analysis...
-
Метод оскулирующих элементов - Возмущенное движение космического аппарата
Метод оскулирующих элементов сводится к тому, что исследование возмущенной траектории КА может быть сведено к анализу совокупности невозмущенных...
-
Зависимость направления неустойчивости от координаты Z - Космический аппарат
Орбиты, для которых были рассчитаны направления неустойчивости в предыдущем разделе, лежат в плоскости эклиптики (плоскости XY). Однако также необходимо...
-
Орбитальная система координат - Математическое моделирование движения небесных тел
Орбитальная система координат вводится следующим образом. Ось направим по вектору Лапласа ?, ось - по вектору c, а ось - перпендикулярно к этим осям...
-
Для решения системы линейных уравнений (4.18) воспользуемся итерационным методом Гаусса-Зейделя. Перепишем (4.18) в матричном виде: (4.14) Матрица А...
-
Лунная поверхность места посадки моделируется как плоскость и импортируется в формат STL как дискретизованная поверхность. Модель космического аппарата...
-
Интегрирование уравнений движения осуществляется численно, поэтому начальные условия, обеспечивающие минимизацию возрастающей компоненты, подбираются...
-
Как было сказано выше, в реальности существуют технические ограничения на точность определения положения КА, скорости КА, а также величину и направление...
Стратегия удержания КА на гало-орбите вокруг точки L2 системы Солнце-Земля, Математическая модель - Космический аппарат