Изотонная звездная сходимость


Данная работа продолжает систематическое изучение свойств звездных сходимостей, проводившееся в работах [1-3]. Наряду с конфинальными, муровскими, квазиподсетями есть еще один класс подсетей - изотонные [4]. Применив его к общей концепции звездных сходимостей в пространствах абстрактной сходимости, получаем еще один тип звездной сходимости - изотонную звездную сходимость.

Пусть - пространство - сходимости. Будем говорить, что сеть изотонно звездно сходится к точке, если каждая ее изотонная подсеть имеет свою изотонную подсеть, которая - сходится к точке. Запись: или.

Первый, возникающий после введения данного понятия, вопрос - это, в каком отношении эта сходимость находится с ранее введенными [1-3] типами звездных сходимостей? Из соотношений основных классов подсетей [4] получается:

Теорема 1

.

Для дальнейшего нам понадобится следующий результат.

Лемма. Отношение "быть изотонной подсетью сети..." транзитивно на множестве всех сетей данного пространства абстрактной сходимости.

Доказательство. Пусть сеть есть изотонная подсеть сети, а сеть есть изотонная подсеть сети. Покажем, что сеть есть изотонная подсеть сети. По условию существуют отображения и такие, что выполнены условия:

    1.1 , т. е. . 1.2 . 1.3 изотонно. 2.1 , т. е. . 2.2 . 2.3 изотонно.

Построим функцию по правилу. Тогда для каждого будет, значит, т. е. . Таким образом, и первое условие изотонной подсети выполнено. Далее, зададим любое, по условию (1.2) найдем соответствующее ему такое, что. По условию (2.2) для найдем такое, что. Тогда при будет, далее, следовательно, . Итак, при будет, т. е. и выполнено второе условие изотонной подсети. Наконец, проверим изотонность отображения. Пусть. По (2.3) . По (1.3) , т. е. и - изотонно. В итоге, сеть есть изотонная подсеть сети.

Лемма доказана.

Обратимся теперь к изучению свойств изотонной звездной сходимости. В частности, нас будут интересовать свойства, связанные с аксиомами Дж. Келли класса сходимости.

Теорема 2 - сходимость имеет свойство NA2.

Доказательство. Пусть сеть изотонно звездно сходится к, - любая ее изотонная подсеть. Рассмотрим любую ее изотонную подсеть. В силу леммы - изотонная подсеть. Из - сходимости к получаем, что имеет изотонную подсеть, которая - сходится к. В силу леммы есть изотонная подсеть сети. Таким образом, каждая изотонная подсеть сети имеет изотонную подсеть, - сходящуюся к. Это и означает - сходимость сети к точке.

Теорема доказана.

Теорема 3 - сходимость имеет свойство NA3.

Доказательство. Пусть сеть не сходится изотонно звездно к. Допустим, что каждая ее изотонная подсеть имеет изотонную подсеть, - сходящуюся к. Тогда каждая изотонная подсеть сети имеет изотонную подсеть, - сходящуюся к. В силу леммы сеть есть изотонная подсеть сети. Это означает изотонную звездную сходимость к. Противоречие.

Теорема доказана.

Теорема 4 Если - сходимость удовлетворяет условию NA1, то ему удовлетворяет и - сходимость.

Доказательство. Пусть NA1 выполнено для. Рассмотрим любую изотонную подсеть сети и далее любую изотонную подсеть сети. В силу леммы - изотонная подсеть сети. Таким образом, существует отображение :

    1 . 2 . 3 - изотонно.

Из условия (1) следует, что. Тогда - сходится к, а это означает - сходимость сети к.

Теорема доказана.

Исследуем соотношение сходимостей и.

Теорема 5 Если - сходимость удовлетворяет условию NA2, то

.

Доказательство. Пусть NA2 для выполнено, сеть - сходится к, - любая ее изотонная подсеть, - любая изотонная подсеть сети. В силу леммы есть изотонная подсеть. В силу NA2 - сходится к. Это означает - сходимость сети к.

Теорема доказана.

Теорема 6 Если - сходимость удовлетворяет NA3, то.

Доказательство. Пусть условие NA3 выполнено для, сеть - сходится к. Допустим, что не сходится к. В силу NA3 имеет такую изотонную подсеть, у которой все изотонные подсети не сходятся к. Но тогда не может - сходится к. Противоречие.

Теорема доказана.

Теорема 7 Данная сходимость совпадает с изотонно звездной к ней тогда и только тогда, когда удовлетворяет NA2 и NA3.

Этот результат вытекает из теорем 5 и 6.

Теорема 8

.

Вытекает из теорем 2,3,7.

Теорема 9 Если на заданы сходимости и и, то

.

Доказательство. Пусть сеть - сходится к. Тогда любая ее изотонная подсеть имеет изотонную подсеть, - сходящуюся к. В силу условия теоремы - сходится к, что и дает - сходимость к.

Теорема доказана.

Если в формулировках аксиом класса сходимости использовать изотонные подсети, то можно провести модификацию третьей аксиомы.

Теорема 10 Аксиома эквивалентна аксиоме NA3.1. .

Доказательство.

1 При выполнении для в силу теоремы 6 NA3.1 выполнено.

2 При выполнении NA3.1 допустим существование сети, для которой NA3 не выполнена. Тогда каждая изотонная ее подсеть имеет свою изотонную подсеть, которая - сходится к. Это дает - сходимость к. В силу NA3.1 получаем, что невозможно.

Теорема доказана.

SUMMARY

The properties of the fourth type star convergence have been explored. The connections between this convergence and the convergence class axioms have been investigated.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

Погребной В. Д. Конфинальная звездная сходимость //Вісник Сумського державного університету. - 2001. - №4(25). - С.141-144.

Погребной В. Д. Муровская звездная сходимость //Вісник Сумського державного університету. - 2002. - №5(38). - С.180-183.

Погребной В. Д. Квазизвездная сходимость //Вісник Сумського державного університету. - 2002. - №6(39). - С.183-186.

Погребной В. Д. Основные классы подсетей //Вісник Сумського державного університету. - 2001. - №3(24). - С.138-140.

Похожие статьи




Изотонная звездная сходимость

Предыдущая | Следующая