Формулы промежуточного движения, Эллиптические функции Якоби - Движение искусственного спутника Земли в нецентральном поле тяготения
Эллиптические функции Якоби
В предыдущей главе были найдены первые интегралы уравнений промежуточного движения, позволяющие записать общий интеграл задачи в квадратурах. Поскольку функции и входящие в формулы (2.2.14), суть многочлены четвертой степени, то полученные квадратуры являются эллиптическими, вследствие чего общее решение задачи должно выражаться через эллиптические интегралы и эллиптические функции. Поэтому перед тем, как приступить к обращению квадратур, мы изложим основные сведения об эллиптических интегралах и функциях. [10], [11]
Пусть имеется интеграл вида
Где R (z) есть многочлен четвертой степени. Всегда существует такая дробно-линейная подстановка, которая приводит его к виду
(3.1.1)
Интеграл (3.1.1) называется эллиптическим интегралом первого рода в нормальной форме Лежандра. Число к (0 <к< 1) называется модулем этого интеграла, а его дополнительным модулем.
Подстановкой t = sin эллиптический интеграл приводится к нормальной тригонометрической форме
(3.1.2)
Эллиптический интеграл, взятый в пределах от 0 до, называется полным эллиптическим интегралом первого рода и обозначается К (к):
Рассмотрим теперь равенство
(3.1.3)
С одной стороны, оно определяет и как однозначную функцию верхнего предела
С другой стороны, мы можем рассматривать верхний предел как функцию самого интеграла и. Такая функция обозначается
И называется амплитудой. Таким образом, a m(и, к) есть результат обращения эллиптического интеграла первого рода в нормальной тригонометрической форме Лежандра.
Эллиптические функции Якоби вводятся следующими формулами:
И называются соответственно эллиптическим синусом, эллиптическим косинусом и дельтой амплитуды.
Часто модуль к опускают и пишут просто
Но всегда нужно помнить, что эти функции зависят от параметра к.
Отметим основные свойства эллиптических функций, считая и вещественным.
- 1 Функции snи и сnи периодические с периодом 4К, a dnи периодическая с периодом 2К. 2 Функции snи, сnu и dnи принимают значения в областях
Значения функций прии = 0, К, 2К, 3К, 4Кприведены в табл. 3.1.1.
Таблица 3.1.1-Значения эллиптических функций
U |
0 |
K |
2K |
3K |
4K |
Величина К, таким образом, для функций snи и cnu играет роль, аналогичную роли для sinи и cosи.
3 Функция snи -- нечетная, а cnи и dnи -- четные функции и, т. е.
4 Функции sn и, cnu и dnи связаны между собой формулами
5 Функции snи, cnu, dnи вырождаются при k = 0 в тригонометрические функции, т. Е.
А при k= 1 в гиперболические функции, т. Е.
6 Функции snи и спи разлагаются в тригонометрические ряды:
(3.1.4)
(3.1.5)
Где
(3.1.6)
Для amи имеет место такое разложение:
(3.1.7)
Приведем еще разложение для К (к):
(3.1.8)
Все эти ряды сходятся при любых и и k< 1.
Похожие статьи
-
В этой части мы сведем дифференциальные уравнения (2.1.6) к квадратурам, которые и будут в дальнейшем использованы для построения промежуточной орбиты...
-
Полученные дифференциальные уравнения для элементов промежуточной орбиты позволяют довольно просто построить аналитическую теорию движения спутника со...
-
Замечания - Движение искусственного спутника Земли в нецентральном поле тяготения
Представление потенциала притяжения Земли в виде ряда по сферическим функциям стало классическим. В силу простоты сферических функций оно очень удобно...
-
Постановка задачи В этой главе мы рассмотрим возмущения в движении спутника, обусловленные притяжением Луны и Солнца. Пусть, как и раньше, Оxyz --...
-
Возмущающая функция В этой главе мы рассмотрим возмущения элементов орбиты спутника, обусловленные зональными гармониками потенциала притяжения Земли....
-
Притяжение объемного тела - Движение искусственного спутника Земли в нецентральном поле тяготения
Рассмотрим задачу о притяжении материальной точки Р единичной массы некоторым телом М. Будем предполагать, что тело имеет произвольную форму, а плотность...
-
Постановка задачи Долготная часть потенциала земного притяжения дается следующей формулой: (6.1.1) Где r -- радиус-вектор; -- геоцентрическая широта; --...
-
4.1 Введение В предыдущих главах было подробно изучено промежуточное движение искусственного спутника. Была рассмотрена качественная картина движения,...
-
2.1 Дифференциальные уравнения движения искусственного спутника Мы ввели подвижную, жестко связанную с Землей, систему координат и соответствующие ей...
-
Влияние электромагнитных сил - Движение искусственного спутника Земли в нецентральном поле тяготения
Пусть спутник обладает электрическим зарядом, равным Q. Тогда при движении в магнитном поле Земли на него будет действовать сила F, определяемая формулой...
-
Представим возмущающую функцию в следующем виде: (6.2.1) Где (6.2.2) (6.2.3) В формулах (6.2.1) и (6.2.2) первые строчки соответствуют четным h -- q, а...
-
Рассмотрим распределение силы тяжести на уровенной поверхности. Ускорение силы тяжести gдается формулой (1.2.1) Где Так как второе слагаемое правой части...
-
Сводка формул для возмущений - Движение искусственного спутника Земли в нецентральном поле тяготения
Приведем окончательные формулы для возмущений элементов промежуточной орбиты. Поскольку v отличается от только периодическими членами порядка и, то с...
-
Рассмотрим сначала промежуточное движение. Мы видели, что промежуточное движение спутника происходит в области, ограниченной двумя эллипсоидами и двумя...
-
Рассмотрим, наконец, общую схему вычисления возмущенных координат спутника. Элементы орбиты. Примем за основную систему произвольных постоянных теории...
-
В предыдущих главах были выведены формулы, позволяющие вычислять положение спутника в пространстве для любого момента времени, если известны численные...
-
Давление света В этом главе мы выведем формулу для возмущающего ускорения, вызываемого действием светового давления на спутник. Сначала мы предположим,...
-
Сила сопротивления атмосферы - Движение искусственного спутника Земли в нецентральном поле тяготения
При изучении поступательного движения спутника принимают во внимание лишь ту компоненту аэродинамических сил, направление которой противоположно вектору...
-
ВВЕДЕНИЕ - Движение искусственного спутника Земли в нецентральном поле тяготения
Изучение движения искусственных спутников Земли представляет интерес не только для специалистов по астродинамике, занимающихся прогнозированием движения...
-
Плотность атмосферы - Движение искусственного спутника Земли в нецентральном поле тяготения
Плотность воздуха верхней атмосферы определяется как непосредственно, при помощи аппаратуры, установленной на спутниках и ракетах, так и косвенным путем,...
-
Введение В предыдущих главах были рассмотрены возмущения элементов орбиты спутника, вызываемые зональными и тессеральными гармониками геопотенциала и...
-
Из дифференциальных уравнений и формул видно, что элементы L, G, Н, а следовательно, и а, е, i, не имеют (по крайней мере в первом приближении) вековых...
-
В формулы для возмущений элементов помимо масс и больших полуосей возмущающих тел входят также наклоны, долготы узлов и перигеев Луны и Солнца,...
-
Введение Помимо несферичности Земли, притяжения Луны и Солнца, сопротивления атмосферы и светового давления на движение спутника действует целый ряд...
-
Рельеф лунной поверхности, Движение луны - Луна как спутник Земли
Граница дня и ночи на Луне называется терминатором, в это время лучше всего изучать рельеф Луны, потому что все неровности отбрасывают тень и их легко...
-
Нецентральность гравитационного поля Земли - Возмущенное движение космического аппарата
Возмущенный движение гравитационный орбита При решении ограниченной задачи двух тел Земля представляется шаром со сферическим распределением плотности. В...
-
Общее решение задачи двух тел можно получить из общего интеграла, представляющего собой не что иное, как неявную форму задания общего решения. Общее...
-
Путь, описываемый космическим аппаратом в пространстве наз. траекторией. Прямолинейные траектории. Если начальная скорость равна нулю, то тело начинает...
-
Круговое движение, Эллиптическое движение - Математическое моделирование движения небесных тел
(p = 0, e = 0) Круговое движение представляет собой наиболее простой случай движения в задаче двух тел. Только для кругового движения (и прямолинейного...
-
Запуск первого искусственного спутника Земли - История развития космонавтики
4 октября 1957 г. весь мир потрясло известие о том, что на околоземную орбиту выведен первый советский искусственный спутник Земли "Спутник-1". Так был...
-
Запуск второго искусственного спутника Земли - История развития космонавтики
Работы по созданию второго искусственного спутника Земли начались сразу после запуска первого, и уже 12 октября 1957 г. было принято официальное решение...
-
В 1955 году (задолго до летных испытаний ракеты Р-7) С. П. Королев, М. В. Келдыш, М. К. Тихонравов вышли в правительство с предложением о выведении в...
-
Параболическое движение, Прямолинейное движение - Математическое моделирование движения небесных тел
(p = 0, e = 1) Уравнение параболической орбиты записывают в видеp r = 1 + cos v (1.80) Где величина определяет расстояние от центра притяжения M0 до...
-
Единственный спутник Земли - Луна - Место Земли в Солнечной системе
Физические условия на Луне, как и на любом другом небесном теле, в значительной мере определяются ее массой и размерами. Сила тяжести на поверхности Луны...
-
Параметры полета, История запуска - Первый спутник Земли
* Начало полета -- 4 октября 1957 в 19:28:34 по Гринвичу * Окончание полета -- 4 января 1958 * Масса аппарата -- 83,6 кг; * Максимальный диаметр -- 0,58...
-
Заключение - Луна как спутник Земли
Луна могла бы стать прекрасной площадкой для проведения самых сложных наблюдений по всем разделам астрономии. Поэтому астрономы, скорее всего, станут...
-
Астрологи утверждают, что звезды влияют на психологию и характеры людей, в соответствии с этим выделяются 12 зодиакальных типов, на каждый из которых...
-
В чем смысл открытого физического феномена? - Как движение Земли влияет на погоду, приливы и отливы
Представьте себе два груза из стали в форме шара, больший шар имеет массу 2 кг., а меньший шар имеет массу 1 кг. Если поднять шар 1, который имеет массу...
-
Лунный грунт - Луна как спутник Земли
Всюду, где совершали посадки космические аппараты, Луна покрыта так называемым реголитом. Это разнозернистый обломочно-пылевой слой толщиной от...
-
Орбиты спутников Траектория движения искусственного спутника Земли называется его орбитой. При выключенных маршевых реактивных двигателях свободное...
Формулы промежуточного движения, Эллиптические функции Якоби - Движение искусственного спутника Земли в нецентральном поле тяготения