АДИАБАТИЧЕСКОЕ ПРИБЛИЖЕНИЕ - Синергетический фазовый переход второго рода с комплексным параметром порядка

Система комплексных уравнений Лоренца имеет вид [5]:

(1)

    (2) (3)

Где точка означает дифференцирование по времени t; з и h - комплексный параметр порядка и сопряженное поле соответственно; S - управляющий параметр; щз, щh(фз, фh, фS) - частоты (времена релаксации) соответствующих величин; Se - параметр внешнего воздействия; g - положительная константа связи. Первые слагаемые описывают релаксацию системы к стационарным значениям з=0, h=0, S=Se и колебания величин з, h, вторые - связь между различными гидродинамическими модами. Отрицательный знак перед нелинейным слагаемым (3) отражает отмеченную выше отрицательную обратную связь параметра порядка и сопряженного поля с управляющим параметром, плюс перед зS в (2) - положительную обратную связь з и S с h, являющуюся причиной самоорганизации.

Система (1) - (3) сводится к уравнениям типа Максвелла-Блоха и получена в полуклассическом приближении для описания генерации излучения в одномодовом лазере. Для данного случая з - безразмерная комплексная амплитуда моды электромагнитного поля, щз(фз-1) - частота (константа релаксации) моды; h - безразмерная поляризация (недиагональный элемент матрицы плотности); S - инверсия населенностей атомных уровней; щh - частота атомных переходов; Se - параметр, характеризующий интенсивность накачки; g - константа связи между частицами и полем; фh-1(фS-1) - поперечная (продольная) константа релаксации.

Используя масштабы

(4)

Для измерения параметра порядка, сопряженного поля, управляющего параметра и времени и переходя к представлению взаимодействия приходим к системе

    (5) (6)

(7)

Где проведена замена S - r на S, введены параметры

(8)

И величина

(9)

Представляет расстройку частоты. Параметр с введен, чтобы система имела вид рассмотренной в [6]. Поскольку (t) и h(t) комплексные функции (з=з1+iз2, h=h1+ih2), то система (5) - (7) состоит из пяти уравнений для действительных переменных з1, з2, h1, h2, S.

В адиабатическом приближении фh, фS << фз, означающем, что в ходе своей эволюции сопряженное поле h(t) и управляющий параметр S(t) изменяются настолько быстро, что успевают следовать за медленным изменением параметра порядка з(t), можно пренебречь флуктуациями величин h(t)?h(з(t)), S(t)?S(з(t)), полагая в (6), (7) =0, =0. В результате получаем равенства:

,(10)

,(11)

Выражающие сопряженное поле и управляющий параметр через параметр порядка. В случае r<с(Д-с) зависимость S(|з|) монотонно возрастает от нуля при |з|=0, а когда r>с(Д-с) - имеет монотонно убывающий вид. Последнее является следствием отрицательной обратной связи в (3).

В области |з|<<1 функция |h|(|з|) носит линейный характер, характеризуемый восприимчивостью ч=[1+(Д-с)2]-1/2(r2+с2)1/2. Эта зависимость при с=0 имеет максимум в точке |з|=. После достижения максимума она асимптотически спадает до значения |h|=0. В случае с=Д вид зависимости |h|(|з|) определяется соотношением параметров r и Д. При r<33/2Д она имеет монотонно возрастающий вид. В точке r=33/2Д появляется плато. При r>33/2Д функция |h|(|з|) возрастает на промежутке

,

, а затем убывает до точки

,

После чего снова монотонно возрастает. Очевидно, что спадающий характер зависимости |h|(|з|) не имеет физического смысла.

Подставляя (10) в (5), приходим к уравнению типа Ландау-Халатникова

,(12)

Где синергетический потенциал имеет вид

(13)

Если параметр Se не больше критического значения

(14)

То зависимость V(|з|) имеет монотонно возрастающий вид с минимумом в точке зst=0. При этом сопряженное поле и управляющий параметр принимают стационарные значения hst=0 и Sst=0, а система не упорядочивается, что отвечает спонтанному излучению в лазере. В закритической области Se>Sc синергетический потенциал приобретает минимум при ненулевом значении параметра порядка

(15)

Теперь стационарные значения сопряженного поля и управляющего параметра определяются равенствами:

(16)

(17)

Это означает, что при резком переходе системы в область, характеризуемую значением параметра Se>Sc, она за время

(18)

Приобретает стационарное значение параметра порядка (15) (происходит когерентное излучение света - генерация в лазере). При этом зависимость з(t) имеет обычный дебаевский вид

    (19) 3 СЛУЧАЙ фh<

Как и выше, в (6) можно положить = 0, что дает связь

(20)

Учитывая ее в оставшихся уравнениях (5), (7), приходим к системе

(21)

.(22)

Поведение данной системы задается параметрами (8) и (9).

В общем случае стандартный анализ [7] системы (21), (22) показывает, что ее фазовый портрет характеризуется наличием двух особых точек D(0, 0, 0) и O(Sst, 1st,0) с координатами, определенными равенствами (15), (17).

Как показывает проведенное исследование, при отстройке частоты =()/()=0 вид фазовых портретов, представляющих кинетику фазового перехода (см. рис. 1а, 2а, 4), совпадает с соответствующим для действительной модели Лоренца [4].

Рисунок 1 - Фазовые портреты неупорядоченной фазы (Se=Sc-0,5S0, 102фh=ф=фS): а - Д= с=0; б-Д=10, с=0

В предкритической области (r<1+Д(Д-с)) фазовые траектории сходятся к точке D, а точка O не реализуется. Это означает, что с течением времени система эволюционирует в отвечающее точке D стационарное неупорядоченное состояние согласно рис. 1. Рост параметра Д приводит к закручиванию траекторий вокруг точки D в комплексной плоскости параметра порядка, т. е. с ростом частоты изменения параметра порядка по сравнению с сопряженным полем проявляется тенденция к возникновению колебательного режима (см. рис. 1б).

Как видно из рис. 2 - 5 эта тенденция реализуется и при переходе в закритическую область r>1+Д(Д-с), где появляется дополнительная точка O, к которой сходятся фазовые траектории. При Д=0 колебания в плоскости Re - Im отсутствуют, а при Д0 здесь возникает колебательный режим. Увеличение параметра Д сопровождается ростом частоты этих колебаний.

Рисунок 2 - Фазовые портреты упорядоченной фазы (102фh= фз=фS): а - Д= с=0; б - Д=10, с=0. Этот и все последующие рисунки соответствуют параметру Se=Sc+0,5S0

Указанные выше особенности относятся к случаям и. Последний предел отвечает адиабатическому приближению, представляющему стандартную картину фазового перехода. В этом случае на фазовом портрете, в частности, показанном на рис. 3а, выделяется участок MON, который имеют все траектории. Как видно из временных зависимостей, приведенных на рис. 3б, конфигуративная точка быстро движется по траектории, расположенной за пределами участка MON, а с попаданием на него существенно замедляется. В работе [4] было показано, что этот участок отвечает притягивающему множеству, названному в [8] "руслом большой реки". Универсальность кинетической картины фазового перехода проявляется в том, что независимо от начальных условий параметры системы быстро достигают участка MON и затем медленно эволюционируют по этой универсальной траектории. Как видно из рис. 3а, синергетический фазовый переход, описываемый комплексными уравнениями Лоренца, характеризуется движением по универсальному участку, которое представляет затухающий осцилляционный процесс в плоскости комплексного параметра порядка.

Рисунок 3 - Фазовый портрет (а) и временная зависимость пути s, пройденного конфигуративной точкой по фазовой траектории (б) упорядоченной фазы (104фh=102фS=фз, Д=15, с=0). Начало отсчета s отмечено крестиком на соответствующих траекториях

Рисунок 4 - Фазовый портрет упорядоченной фазы (104фh=102фз=фS, = с=0)

Согласно рис. 4 в обратном пределе при =0 колебательное поведение возникает в плоскостях Re - S и Im - S, а в плоскости Re - Im колебания отсутствуют. С ростом расстройки частоты появляется колебательный режим в плоскости комплексного параметра порядка, а колебания в двух других плоскостях трансформируются к виду, показанному на рис. 5в. Таким образом, сохраняется общая тенденция, присущая изменению поведения конфигурационной точки в плоскости Re - Im в зависимости от значения параметра.

Рисунок 5 - Фазовый портрет упорядоченной фазы (104 фh=102фз= фS, Д=10, с=0): а - общий вид; б, в - проекции на плоскости Re - Im и Re - S соответственно

Во всех рассмотренных в этом разделе случаях соотношений времен релаксации при выполнении условия Д=с картина поведения системы сводится к случаю Д=0. При отклонении значения параметра с (с>0) от величины расстройки частоты Д1(Д1>0) фазовые портреты принимают вид, соответствующий случаю Д=|Д1-с|, при этом ситуации с<Д1 и с>Д1 в представлении фазового портрета являются одинаковыми.

СЛУЧАЙ фз<<фh, фS

Аналогично первому случаю, полагая в (5) =0, получаем связь

,(23)

Подстановка которой в уравнения (6), (7) дает систему

(24)

.(25)

Подобно предыдущему случаю фазовый портрет определяется наличием особых точек D(0, 0, 0) и O(Sst, h1st, h2st) с координатами, определенными равенствами (16) и (17).

Как показывает проведенное исследование, при отстройке частоты Д=0 вид фазовых траекторий совпадает с соответствующим для действительных параметра порядка и сопряженного поля [4]. В неупорядоченной области фазовые траектории сходятся к точке D, а точка O не реализуется. Рост параметра Д приводит к закручиванию траекторий вокруг точки D в комплексной плоскости сопряженного поля.

Такое поведение реализуется и при переходе в упорядоченную область, где появляется дополнительная точка O, к которой сходятся фазовые траектории. При Д=0 колебания в плоскости Re h - Im h отсутствуют, а при Д0 здесь возникает колебательный режим. Увеличение параметра Д сопровождается ростом частоты этих колебаний.

Рисунок 6 - Фазовый портрет упорядоченной фазы (104фз=102фS=фh, Д=10, с=0)

Проведенный анализ и вид фазовых траекторий на рис. 6 показывают, что как и в предыдущем случае, в адиабатическом пределе (фh>>фS) проявляется универсальность кинетического поведения, состоящая в выделении участка MON, на котором параметры системы медленно эволюционируют к стационарной точке O.

В обратном пределе фh<<фS при Д=0 колебательное поведение возникает в плоскостях Re h - S и Im h - S, а в плоскости Re h - Im h колебания отсутствуют. С ростом расстройки частоты Д появляется колебательный режим в плоскости комплексного сопряженного поля, а колебания в двух других плоскостях сводятся к виду, подобному приведенному на рис. 5в. Таким образом, зависимость поведения конфигурационной точки в плоскостях Re - Im в первом случае и Re h - Im h от величины параметра Д имеет одинаковый характер.

Характерно, что в данном случае изменение параметра Д не влияет на вид фазовых портретов.

СЛУЧАЙ фS<< фз, фh

Полагая в (7) =0, находим

(26)

И уравнения (5), (6) принимают вид

(27)

(28)

Фазовый портрет системы имеет особые точки D(0, 0, 0, 0) и O(1st,0,h1st, h2st) (см. (15), (16)), вторая из которых реализуется только в упорядоченной области.

Проведенный анализ и вид фазовых траекторий на рис. 7-9, показывает, что универсальность кинетического поведения системы проявляется как при фh<< фз, так и при фh>>фз. Это выражается в наличии универсального участка, по которому эволюционируют параметры системы.

В случае фh<<фз (рис. 7) наблюдается возникновение колебаний в плоскостях Re - Im и Re h - Im h при ненулевых значениях параметра Д. С ростом параметра Д колебания в данных плоскостях менее выражены и прекращаются при Д=с, после чего они снова возобновляются. Однако при этом фазовые портреты, соответствующие ситуациям с<Д и с>Д, не являются одинаковыми. Данное предельное соотношение времен релаксации характеризуется выделением на фазовых траекториях универсального участка MO (см. рис. 7).

Рисунок 7 - Фазовый портрет упорядоченной фазы (104фS=102фh=фз, Д=10, с=0)

В обратном пределе фh>> фз (рис. 8) наблюдаются колебания в плоскостях Re - Im и Re h - Im h, возрастающие по амплитуде с ростом параметра Д. При увеличении параметра Д указанная характеристика колебательного режима в плоскости Re - Im не претерпевает изменений (рис. 8б), а в плоскости Re h - Im h уменьшается и достигает своего минимума при значении с=Д (рис. 8в), после чего она снова возрастает. В отличие от предыдущего случая универсальный участок здесь не выделен графически, а представляет прилегающую к центру O часть фазовых траекторий, проекции которых на плоскости Re - Im и Re h - Im h имеют вид спиралей.

Рисунок 8 - Фазовые портреты упорядоченной фазы (104фS=102фз=фh, Д=100, кривая 1 - с=1; 2 - с=50; 3 - с=100): а - общий вид; б - проекция на плоскость Re - Im ; в - проекция на плоскость Re h - Im h

В промежуточной области фh=фз (рис. 9), при ненулевых значениях параметров с и Д возникают колебания в плоскостях Re - Im и Re h - Im h. С ростом параметра с амплитуда колебаний в плоскости Re - Im уменьшается, а частота растет (рис. 9б). В плоскости Re h - Im h относительно амплитуды реализуется обратная картина, а частота по прежнему увеличивается (рис. 9в).

Похожие статьи




АДИАБАТИЧЕСКОЕ ПРИБЛИЖЕНИЕ - Синергетический фазовый переход второго рода с комплексным параметром порядка

Предыдущая | Следующая