Общий подход к преподаванию элементов теории вероятностей и статистики в школе - Элементы теории вероятности в школьном курсе математики

"Теория вероятностей и математическая статистика сформировались в научные дисциплины позже большинства других разделов математики. Однако осознание важности этих разделов математики в самых различных областях человеческой деятельности в середине прошлого века поставило во многих развитых странах вопрос о включении элементов этих дисциплин в школьную программу. В России этот вопрос начал обсуждаться еще раньше. Еще в 1914 году он рассматривался на заседании секции математики Российской академии наук, рекомендовавшей включение элементов теории вероятности и статистики в школьные программы.

В настоящее время теория вероятности входит в качестве обязательной дисциплины в учебные планы подготовки специалистов практически всех естественнонаучных, технических и гуманитарных дисциплин в высших учебных заведениях.

Используют следующие положения при разработке общего подхода к преподаванию статистики и теории вероятностей в школе:

    - дать законченное элементарное представление о теории вероятностей и статистике и их тесной взаимосвязи; - подчеркивать тесную связь этих разделов математики с окружающим миром, как на стадии введения математических понятий, так и на стадии использования полученных результатов; - избегать излишнего математического формализма; - избегать утративших свою актуальность для общества примеров и задач, в том числе задач из азартных игр; - иллюстрировать материал яркими, доступными и запоминающимися примерами.

Изучение элементов теории вероятностей и статистики в школе должно начинаться с изучения статистики. На простом, наглядном, порой иллюстративном, но важном материале вводится одна из главных идей теории вероятности и статистики - идея случайной изменчивости. Для показа и разъяснения случайной изменчивости привлекают самые различные источники от государственной статистики до примеров из повседневной жизни учащихся, биометрические данные человека, школьные оценки, показатели физического развития и т. п.

Одновременно с идеей случайной изменчивости вводятся простейшие числовые показатели, описывающие в целом эту изменчивость:

    - среднее арифметическое, - медиана, - отклонения от среднего, - дисперсия.

При начале изложения этого материала следует избегать высокой степени формализма, не использовать переменные с индексами, формальные определения и доказательства.

В то же время важно показать, как может вести себя среднее арифметическое для различных наборов чисел, пояснить, когда оно дает хорошее представление о массиве наблюдений, а когда нет.

К теме среднего значения и дисперсии набора чисел обращаются еще раз, когда обсуждают числовые характеристики дискретной случайной величины - ее математическое ожидание и дисперсию, и показывают связь между этими понятиями. Другими словами, статистические характеристики, вводимые сначала на уровне здравого смысла, как числовые характеристики набора чисел, получают вторую математическую трактовку в дальнейшем, при изучении числовых характеристик случайных величин.

Знакомство с элементами теории вероятностей начинают с изложения на интуитивном уровне понятий случайного события и его вероятности. На этом этапе не связывают эти вопросы с комбинаторикой как таковой, не делают первостепенного упора на комбинаторику, как это часто делается в так называемой схеме "классической теории вероятностей". Последнее является ненужной данью истории, резко сужает круг задач и вопросов, доступных для рассмотрения, отрывает базовые понятия теории вероятностей от их действительного использования на практике. Учащиеся должны знать и понимать, что основным способом определения вероятности события в содержательных примерах на практике является частотный подход, но что порой определение вероятности события - это довольно сложная или даже неразрешимая задача.

Переходя далее к математическому описанию случайных явлений, обращают особое внимание на понятие случайного опыта и на его важности для всей последующей математической формализации случайности. Ровно так, как условие текстовой математической задачи (например, на движение) задает для учащегося тот набор условий и ограничений, в которых он будет искать решение, так и описание случайного опыта подводит нас к выбору подходящего набора (пространства) элементарных событий и заданию на нем вероятностей выбранных элементарных событий. Эта мысль важна еще и потому, что во многих внешне простых формулировках занимательных вероятностных задач четко не говорится о том, что в них следует понимать под случайным опытом. Это не раз в истории развития теории вероятностей приводило к длительным спорам и математическим парадоксам. Такого рода задачи, как показывает практика обучения, отвлекает и путает учащихся, порождает в них неуверенность в собственных силах и сомнения в применимости вероятностных моделей вообще.

На этапе первичного знакомства с основными вероятностными понятиями следует всячески избегать нечетких формулировок в вероятностных задачах, следя за тем, чтобы бы условия случайного опыта формулировались ясно и недвусмысленно.

Важное место в школьном курсе элементов теории вероятностей занимает понятие равновозможности событий. Исторически оно начало формироваться при решении вероятностных задач, связанных с азартными играми. Однако понятие равновозможности не утратило своей актуальности и в настоящее время. Именно оно лежит в основе простого случайного выбора, на котором базируются все методики организации выборочных исследований, контроля качества продукции и социологических опросов. Однако было бы совершенно неверно ограничиваться в школьном курсе обсуждением только тех случайных опытов, элементарные события в которых равновозможны. Это могло бы привести к формированию у школьников устойчивого ложного представления, что интересующее его случайное событие всегда имеет вероятность, равную одной второй, так как событие либо произойдет, либо не произойдет.

Введение элементов комбинаторики должно быть подчинено вероятностным задачам, а не наоборот. Важно научить учащихся перебору различных комбинаций, подходам к этому перебору, а не доказательства комбинаторных теорем и формальным преобразованиям выражений, включающих число сочетаний или перестановок. Важно показать, что без использования комбинаторных подходов во многих вероятностных задачах трудно описать все элементарные события. Важно дать наглядное, запоминающееся представление о тех практических ситуациях, где используются комбинаторные принципы подсчета.

Тема перехода от элементарных событий к произвольным событиям и операциям с ними изложены без привлечения понятия "множества". Хотя по сути дела операции над событиями полностью аналогичны операциям над множествами. Очень полезны диаграммы Эйлера, показывающие, как соотносятся друг с другом различные события.

Схема испытаний Бернулли является не только относительно простой, полезной и распространенной на практике моделью описания однотипных повторяющихся независимых опытов с двумя возможными исходами. Она играет в теории вероятностей важную методическую роль, определяя алгоритм приближенного поиска вероятностей многих интересующих событий. Об этом говорят сначала на интуитивном уровне, обсуждая вероятности и частоты событий, а затем возвращаются к испытаниям Бернулли.

Сама по себе схема испытаний Бернулли объединяет целый ряд понятий и методов. Это представления о множестве элементарных событий, понятие независимости событий, правило умножения вероятностей, число сочетаний. Таким образом, эта важная тема дает возможность повторить и закрепить многое из уже пройденного материала.

Тема "геометрическая вероятность" включена в курс математики потому, что содержится в требованиях государственного стандарта. В ее изложении много подводных камней и трудностей, которые следует обходить. Содержательное математическое обсуждение этих трудностей на школьном уровне нецелесообразно и практически невозможно. При работе с этим материалом учитель и учащиеся получают возможность повторить материал из курса геометрии и укрепить навыки формализации текстовых вероятностных задач, используя различные геометрические объекты.

Две важные темы "Бином Ньютона" и "Треугольник Паскаля" опираются на более высокий уровень формализма в записи выражений. Обращаться к этим темам стоит лишь после того, когда завершено прохождение материала по статистике и теории вероятностей. В этом случае появляется возможность показать, как содержательно используется этот материал в теории вероятностей.

Методические приемы, играющие важную роль в преподавании материала:

    1. Наглядность и простота изложения. 2. Минимальный формализм в записи выражений и определениях. 3. Подчеркивание связи вводимых понятий с реальной практикой. 4. Использование сквозных примеров и задач при обсуждении разных тем. 5. Подчеркнутая ясность и простота формулировок большинства задач. 6. Подбор примеров и задач с учетом различных интересов и возрастных особенностей развития учащихся. 7. Проведение небольших практических исследований (измерений) и экспериментов для лучшего понимания природы случайной изменчивости и смысла вероятности. 8. Возможность повторения и закрепления на новом материале пройденного ранее.

Все это должно способствовать усвоению простых, но принципиально новых для учащихся понятий, росту интереса учащихся к математике в целом, формированию современного мировоззрения и умения ориентироваться в изменчивом информационном мире.

Подводя итоги, заметим, предложенный выше подход к преподаванию элементов статистики и теории вероятностей в школе предполагает естественнонаучное изложение указанных дисциплин. В нем наибольшую ценность представляют вводимые понятия, сложившаяся система взглядов, ее связь с окружающим миром. При таком подходе математические доказательства на этой стадии обучения отступают на второй план, а математические методы играют ту же роль, что в физике или механике. Таким образом, введение статистики и теории вероятностей в учебный план по математике разгружает его от большого числа формальных алгебраических преобразований, наполняется более простым, но мировоззренчески очень важным математическим материалом, который должен способствовать повышению интереса учащихся к математике" Теория вероятностей и статистика: Методическое пособие для учителя/ Ю. Н. Тюрин, А. А. Макаров, И. Р. Высоцкий, И. В. Ященко, 2-е изд., исправленное и дополненное. - М.: МЦНМО: МИОО, 2008. [8].

Похожие статьи




Общий подход к преподаванию элементов теории вероятностей и статистики в школе - Элементы теории вероятности в школьном курсе математики

Предыдущая | Следующая