НЕЧЕТКИЕ ОТНОШЕНИЯ - Статистические методы оценки получаемых знаний учащимися в общеобразовательной средней школе

Пусть - прямое произведение универсальных множеств и М - некоторое множество принадлежностей. Нечеткое n-арное отношение определяется как нечеткое подмножество R на E, принимающее свои значения в М. В случае и, нечетким отношением R между множествами и будет называться функция R:(X, Y)® [0,1], которая ставит в соответствие каждой паре элементов (х, y)ОXгY величину. Обозначение: нечеткое отношение на XгY запишется в виде: xОX, yОY: xRy. В случае, когда X = Y, т. е. X и Y совпадают, нечеткое отношение R: XгX®[0,1] называется нечетким отношением на множестве X.

Примеры:

Пусть X = {x1,x2,x3}, Y = {y1,y2,y3,y4}, М = [0,1]. Нечеткое отношение R=XRY может быть задано, к примеру, таблицей:

Y1

Y2

Y3

Y4

X1

0

0

0,1

0,3

X2

0

0,8

1

0,7

X3

1

0,5

0,6

1

Пусть, т. е. множество всех действительных чисел. Отношение (x много больше y) можно задаеть функцией принадлежности:

Отношение R, для которого, при достаточно больших k можно интерпретировать так: "x и y близкие друг к другу числа". В случае конечных или счетных универсальных множеств очевидна интерпретация нечеткого отношения в виде нечеткого графа, в котором пара вершин (xi, xj) в случае XRX соединяется ребром с весом, в случае XRY пара вершин (xi, yj) соединяется ребром c весом.

Примеры:

Пусть Х={x1,x2,x3}, и задано нечеткое отношение R: XгX® [0,1], представимое графом:

Пусть X={x1,x2} и Y={y1,y2,y3}, тогда нечеткий граф вида:

Задает нечеткое отношение XRY.

Замечание. В общем случае нечеткий граф может быть определен на некотором GМXгY, где G - множество упорядоченных пар (x, y) (необязательно всех возможных) такое, что и.

Будем использовать обозначения вместо и вместо.

Пусть.

Носитель нечеткого отношения.

Носителем нечеткого отношения R называется обычное множество упорядоченных пар (x, y), для которых функция принадлежности положительна:

.

Нечеткое отношение содержащее данное нечеткое отношение, или содержащееся в нем.

Пусть R1 и R2 - два нечетких отношения такие, что:

,

Тогда говорят, что R2 содержит R1 или R1 содержится в R2 .

Обозначение: .

Пример:

Отношения R1 , R2 - отношения типа (y много больше x). При отношение R2 содержит R1 .

Операции над нечеткими отношениями

Объединение двух отношений и.

Объединение двух отношений обозначается R1ИR2 и определяется выражением:

.

Пример:

Ниже изображены отношения действительных чисел, содержательно означающие: xR1y - "числа x и y очень близкие", xR2y - "числа x и y очень различны" и их объединение xR1ИR2y - "числа x и y очень близкие или очень различные".

Функции принадлежности отношений заданы на |y-x|.

Пересечение двух отношений

Пересечение двух отношений R1 и R2 обозначается R1?R2 и определяется выражением:

.

Пример:

Ниже изображены отношения: xR1y, означающее "модуль разности |y-x| близок к a", xR2y, означающее "модуль разности |y-x| близок к b", и их пересечение.

Алгебраическое произведение двух отношений

Алгебраическое произведение двух отношений R1 и R2 обозначается R1ЧR2 и определяется выражением:

.

Алгебраическая сумма двух отношений

Алгебраическая сумма двух отношений R1 и R2 обозначается R1R2 и определяется выражением:

.

Для введенных операций справедливы следующие свойства дистрибутивности:

,

R1И(R2ЗR3) = (R1ИR2)З(R1ИR3),

,

,

,

.

Дополнение отношения

Дополнение отношения R обозначается и определяется функцией принадлежности:

Дизъюнктивная сумма двух отношений

Дизъюнктивная сумма двух отношений R1 и R2 обозначается R?R и определяется выражением:

.

Обычное отношение, ближайшее к нечеткому.

Пусть R - нечеткое отношение с функцией принадлежности. Обычное отношение, ближайшее к нечеткому, обозначается R и определяется выражением:

Проекции нечеткого отношения

Пусть R - нечеткое отношение. Первой проекцией отношения R (проекция на X) называется нечеткое множество, заданное на множестве X, с функцией принадлежности:

.

Аналогично, второй проекцией (проекцией на Y) называется нечеткое множество, заданное на множестве Y, с функцией принадлежности:

Величина называется глобальной проекцией отношения R. Если h(R)=1, то отношение R нормально, в противном случае - субнормально.

Цилиндрические продолжения проекций нечеткого отношения

Проекции R1 и R2 нечеткого отношения XRY в свою очередь определяют в XгY нечеткие отношения и с функциями принадлежности:

При любом y, при любом x,

Называемые, соответственно, цилиндрическим продолжением и цилиндрическим продолжением.

Замечание. Очевидно, что для любых нечетких подмножеств А и В, определенных, соответственно, на X и Y, можно построить их цилиндрические продолжения А и В.

Сепарабельность отношений

Нечеткое отношение XRY называется сепарабeльным, если оно равно пересечению цилиндрических продолжений своих проекций, т. е. если, т. е. .

Замечание. Если определено декартово произведение нечетких множеств (выше оно введено), то, очевидно, нечеткое отношение XRY сепарабельно, если оно является декартовым произведением своих проекций, т. е. .

Композиция двух нечетких отношений

Пусть R1 - нечеткое отношение между X и Y, и R2 - нечеткое отношение между Y и Z. Нечеткое отношение между X и Z, обозначаемое, определенное через R1 и R2 выражением, называется (max-min)-композицией отношений R1 и R2.

Свойства max-min композиции

Операция (max-min)-композиции ассоциативна, т. е.

,

Дистрибутивна относительно объединения, но недистрибутивна относительно пересечения:

,

.

Кроме того, для (max-min)-композиции выполняется следующее важное свойство: если то,.

(max-*) - композиция.

В выражении для (max-min)-композиции отношений R1 и R2 операцию можно заменить любой другой, для которой выполняются те же ограничения, что и для : ассоциативность и монотонность (в смысле неубывания) по каждому аргументу. Тогда:

.

В частности, операция может быть заменена алгебраическим умножением, тогда говорят о (max - prod)-композиции.

Обычное подмножество a - уровня нечеткого отношения

Обычным подмножеством a - уровня нечеткого отношения R называется четкое (обычное) отношение Ra такое, что

Очевидно, что из a1Ј a2 следует Ra1 і Ra2.

Теорема декомпозиции

Любое нечеткое отношение R представимо в форме:

, 0<aЈ1,

Где aЧRa означает, что все элементы Ra умножаются на a.

Условные нечеткие подмножества.

Пусть X и Y - универсальные множества, взаимосвязь которых задана нечетким отношением, т. е. для каждой пары задано значение функции принадлежности.

Пусть А - некоторое нечеткое множество, заданное на Х, т. е. определена функция принадлежности для всех х из Х. Тогда нечеткое множество А и нечеткое отношение R индуцируют в Y нечеткое подмножество B с функцией принадлежности

.

Обозначение: .

Немного о бинарных отношениях вида XRX

Нечеткие отношения вида XRX задаются функцией принадлежности ? R(x, y), но с условием, что x и y - элементы одного и того же универсального множества. В зависимости от своих свойств (основные - симметричность, рефлексивность, транзитивность) конкретные нечеткие отношения задают отношения сходства и различия, порядка или слабого порядка между элементами Х. Они имеют обширную сферу приложений в задачах автоматической классификации и принятия решений (сравнение альтернатив).

Похожие статьи




НЕЧЕТКИЕ ОТНОШЕНИЯ - Статистические методы оценки получаемых знаний учащимися в общеобразовательной средней школе

Предыдущая | Следующая