НЕЧЕТКАЯ И ЛИНГВИСТИЧЕСКАЯ ПЕРЕМЕННЫЕ - Статистические методы оценки получаемых знаний учащимися в общеобразовательной средней школе

Понятие нечеткой и лингвистической переменных используется при описании объектов и явлений с помощью нечетких множеств.

Нечеткая переменная характеризуется тройкой <a, X, A>, где

a - наименование переменной,

X - универсальное множество (область определения a),

A - нечеткое множество на X, описывающее ограничения (т. е. m A(X)) на значения нечеткой переменной a.

Лингвистической переменной называется набор <b ,T, X,G, M>, где

Нечеткий множество педагогический контроль оценочный

b - наименование лингвистической переменной;

Т - множество ее значений (терм-множество), представляющих собой наименования нечетких переменных, областью определения каждой из которых является множество X. Множество T называется базовым терм-множеством лингвистической переменной;

G - синтаксическая процедура, позволяющая оперировать элементами терм-множества T, в частности, генерировать новые термы (значения). Множество TИ G(T), где G(T) - множество сгенерированных термов, называется расширенным терм-множеством лингвистической переменной;

М - семантическая процедура, позволяющая превратить каждое новое значение лингвистической переменной, образуемое процедурой G, в нечеткую переменную, т. е. сформировать соответствующее нечеткое множество.

Замечание. Чтобы избежать большого количества символов символ b используют как для названия самой переменной, так и для всех ее значений пользуются одним и тем же символом для обозначения нечеткого множества и его названия, например терм "умный", являющийся значением лингвистической переменной b = "количество баллов", одновременно есть и нечеткое множество М ("умный").

Присвоение нескольких значений символам предполагает, что контекст позволяет разрешить возможные неопределенности.

Пример: Пусть эксперт определяет уровень знаний учащихся с помощью понятий "низкий результат", "средний результат" и "высокий результат" выполнения тестового задания, при этом минимальный результат равен 0 баллов, а максимальный - 100 баллов.

Формализация такого описания может быть проведена с помощью следующей лингвистической переменной <b, T, X, G, M>, где

b - "количество баллов";

T - {"низкий результат", "средний результат","высокий результат" };

X - [0, 100];

G - процедура образования новых термов с помощью связок "и", "или" и модификаторов типа "очень", "не", "слегка" и др. Например: "малый или средний результат", "очень малый результат" и др.;

М - процедура задания на X = [0, 100] нечетких подмножеств А1="малый результат", А2 = "средний результат", А3="высокий результат", а также нечетких множеств для термов из G(T) в соответствии с правилами трансляции нечетких связок и модификаторов "и", "или", "не", "очень", "слегка" и др. операции над нечеткими множествами вида: А З В, АИ В, , CON А = А2 , DIL А = А0,5 и др.

Функции принадлежности нечетких множеств:

"малый результат" = А1 , "средний результат"= А2, " высокий результат"= А3 .

Функция принадлежности:

Нечеткое множество "малый или средний результат" = А1ИА1.

Нечеткие числа

Нечеткие числа - нечеткие переменные, определенные на числовой оси, т. е. нечеткое число определяется как нечеткое множество А на множестве действительных чисел R с функцией принадлежности, где x - действительное число, т. е. .

Нечеткое число А нормально, если, выпуклое, если для любых выполняется

.

Множество - уровня нечеткого числа А определяется как

.

Подмножество называется носителем нечеткого числа А, если

.

Нечеткое число А унимодально, если условие справедливо только для одной точки действительной оси.

Выпуклое нечеткое число А называется нечетким нулем, если

.

Нечеткое число А положительно, если, x>0

И отрицательно, если, x<0.

Операции над нечеткими числами

Расширенные бинарные арифметические операции (сложение, умножение и пр.) для нечетких чисел определяются через соответствующие операции для четких чисел с использованием принципа обобщения следующим образом.

Пусть А и В - нечеткие числа, и - нечеткая операция, соответствующая операции над обычными числами. Тогда

Отсюда:

Нечеткие числа (L-R)-типа

Нечеткие числа (L-R)-типа - это разновидность нечетких чисел специального вида, т. е. задаваемых по определенным правилам с целью снижения объема вЫчислений при операциях над ними.

Функции принадлежности нечетких чисел (L-R)-типа задаются с помощью невозрастающих на множестве неотрицательных действительных чисел функций действительного переменного L(x) и R(x), удовлетворяющих свойствам:

    А) , ; Б) .

Очевидно, что к классу (L-R) функций относятся функции, графики которых имеют следующий вид:

Примерами аналитического задания (L-R) функций могут быть

, pі0;

, pі 0 и т. д.

Пусть L(y) и R(y) - функции (L-R)-типа (конкретные). Унимодальное нечеткое число А с модой а (т. е. mA(a)=1) c помощью L(y) и R(y) задается следующим образом:

Где а - мода; a>0, b>0 - левый и правый коэффициенты нечеткости.

Таким образом, при заданных L(y) и R(y) нечеткое число (унимодальное) задается тройкой А = (а, a, b).

Толерантное нечеткое число задается, соответственно, четверкой параметров А=(а1, a2, a, b), где а1 и a2 - границы толерантности, т. е. в промежутке [а1,a2] значение функции принадлежности равно 1.

Примеры графиков функций принадлежности нечетких чисел (L-R)-типа приведены ниже.

Мы не будем здесь рассматривать операции над (L-R) числами; отметим, что в конкретных ситуациях функции L(y), R(y), а также параметры a, b нечетких чисел (а, a, b) и (а1, a2, a, b ) должны подбираться таким образом, чтобы результат операции (сложения, вычитания, деления и т. д.) был точно или приблизительно равен нечеткому числу с теми же L(y) и R(y), а параметры aў и bў результата не выходили за рамки ограничений на эти параметры для исходных нечетких чисел, особенно если результат в дальнейшем будет участвовать в операциях.

Замечание. Решение задач математического моделирования сложных систем с применением аппарата нечетких множеств требует выполнения большого объема операций над разного рода лингвистическими и другими нечеткими переменными. Для удобства исполнения операций, а также для ввода-вывода и хранения данных, желательно работать с функциями принадлежности стандартного вида.

Нечеткие множества, которыми приходится оперировать в большинстве задач, являются, как правило, унимодальными и нормальными. Одним из возможных методов аппроксимации унимодальных нечетких множеств является аппроксимация с помощью функций (L-R)-типа.

Примеры (L-R)-представлений некоторых лингвистических переменных:

Терм ЛП

(L-R)-представление

Графическое представление

Средний

А = (а, a, b)LR

a = b>0

A b

Малый

А = (а, Г, b)LR

a = Г

a = Г--b

Большой

А = (а, a, Г)LR

b=Г

a--b = Г

Приблизительно в диапазоне

А = (а1, а2, a, Г)LR

a = b>0

a--b

A1 a2

Определенный

А = (а, 0, 0)LR

a = b = 0

a = 0 b = 0

Разнообразный

Зона полной неопределенности

А = (а, Г, Г)LR

a = b = Г

a = b = Г

Похожие статьи




НЕЧЕТКАЯ И ЛИНГВИСТИЧЕСКАЯ ПЕРЕМЕННЫЕ - Статистические методы оценки получаемых знаний учащимися в общеобразовательной средней школе

Предыдущая | Следующая