Элементы теории вероятностей и статистики на уроках математики в начальной школе. Методика работы - Элементы теории вероятности в школьном курсе математики

Первый шаг на пути ознакомления младших школьников с миром вероятности состоит в длительном экспериментировании. Эксперимент повторяют много раз при одних и тех же условиях, а детям предлагают указать результат. Потом условия эксперимента изменяют.

Приведем примеры игр и заданий, которые можно использовать при знакомстве младших школьников с основными понятиями теории вероятностей.

1. Эксперимент, помогающий подвести младших школьников к понятиям: невозможное событие, достоверное событие, а в отношении случайных событий - установить градации: более вероятное событие, менее вероятное событие.

Оборудование: мешок и 9 шаров - 3 красных, 3 белых и 3 зеленых шара.

Описание эксперимента:

Учитель обращается к ребятам:

- Вы, конечно, знаете, что Буратино очень любит кукольные спектакли, но у него часто не бывает денег, чтобы попасть в театр. Однажды продавец билетов согласился дать Буратино билет, если он верно ответит на вопрос: "В мешке имеется 3 красных, 3 белых и 3 зеленых шара. Сколько шаров нужно вынуть из мешка, чтобы наверняка иметь шары трех цветов?" Помогите Буратино дать правильный ответ.

Дети будут предлагать разные значения, но им необходимо обосновать свой выбор, проводя эксперименты.

В результате они должны прийти к следующим выводам:

    - если вынуть 7, 8, 9 шаров, наверняка будут шары трех цветов; - если вынуть 3, 4, 5 или 6 шаров, то возможно, но не обязательно будут шары трех цветов; - если вынуть 1 или 2 шара, то невозможно получить шары трех цветов.

Целесообразно исследовать, в каком из случаев имеется наибольшая возможность получить шары трех цветов - если вытащить 3, или 4, или 5, или 6 шаров. Можно ввести и термины более вероятно, менее вероятно.

2. Опыты с пятью монетами.

С помощью этих экспериментов можно научить ребенка навыку выводить закономерности при проведении опытов.

Оборудование: 5 одинаковых монет.

Описание эксперимента:

Учитель рассказывает детям следующую историю:

- Когда Буратино получил от Карабаса-Барабаса 5 золотых монет, он подбросил каждую монету, чтобы удостовериться, не сон ли это, и не исчезнут ли золотые. Буратино видел, что каждая монета ложилась одним из возможных способов: цифрой вверх или гербом вверх. Потом он подбросил все 5 монет сразу и подсчитал, что 2 монеты легли цифрой вверх, а 3 гербом. Буратино задумался: какие случаи еще могут получиться? Давайте поможем Буратино.

В этом и заключается задание: отметить, какие случаи возможны при бросании пяти монет. Занести данные в таблицу и заполнить ее, написав свое предположение о количестве появления каждого случая. Сравнить полученное число с результатами эксперимента, проведенного 20, 40, 60, 80 и 100 раз.

Таблица 1.

Результаты эксперимента

№

Исх

При бросании

Пяти монет

Выпало:

Количество экспериментов

20

40

60

80

100

Сколько раз данный исход

Цифрой

Гербом

Предположение

Реализация

Предположение

Реализация

Предположение

Реализация

Предположение

Реализация

Предположение

Реализация

1

5 : 0

2

4 : 1

3

3 : 2

4

2 : 3

5

1 : 4

6

0 : 5

Можно сказать, что каждый из данных случаев называют событием, и выяснить, какое событие более возможно, менее возможно, есть ли среди данных событий равновозможные. После проведения эксперимента 20 раз и занесения данных в таблицу, следует ожидать более точного совпадения предполагаемого и экспериментально полученного чисел появления каждого из случаев в серии из 40 экспериментов и т. д.

    3. Эксперимент, который можно использовать при знакомстве с понятиями:
      - равновозможные события, - более вероятное событие, - менее вероятное событие.

Оборудование: два белых и один черный шар.

Описание эксперимента:

В ящик или мешок кладут два белых и один черный шар. Требуется вытащить последовательно один за другим 2 шара. Учитель спрашивает детей: "Каким может быть результат такого опыта?".

Обнаруживается, что может быть 3 случая:

возможные случаи эксперимента

Рисунок 1. Возможные случаи эксперимента

С помощью эксперимента необходимо выяснить, какой из этих случаев более возможен, менее возможен или, может быть, среди них имеются равновозможные случаи. Затем полученные экспериментальные выводы необходимо обосновать, рассмотрев все возможные комбинации выбора двух шаров из имеющихся трех, которые можно условно обозначить Ч, Б1, Б2.

4. Игра "Какова сумма?".

Эта игра поможет подвести детей к понятию вероятности с точки зрения классического определения.

Нарисуем большой прямоугольник. Между 14 детьми распределим 14 жетонов, пронумерованных от 1 до 14. Дети ставят свои домики на линию старта на клетку с соответствующим номером. Бросаем две большие игральные кости. После каждого подбрасывания костей ребенок, номер которого равен сумме очков на выпавших гранях продвигается на одну клетку к финишу. Выигрывает тот, кто первым достигнет финиша.

Очень скоро дети догадываются, что некоторые из них находятся в более благоприятных условиях, чем другие, и что участники, получившие номера 1, 13, 14 не имеют никакого шанса продвинуться вперед (имея две кости, невозможно в сумме получить 1 или число, большее 12). Тогда дети решают, что в следующей партии эти числа надо выбросить. Можно сыграть несколько партий. Дети хотят получить номер 5, 6, 7, 8, 9, но никто не хочет взять 2, 3, 4, 10, 11 или 12. Разумно попробовать обосновать, почему так происходит, попросив детей ответить на вопрос: "Сколькими способами можно получить 2, 3, 4,..., 12 очков при бросании двух игральных костей?".

5. Игра "Сколько окажется на своем месте?".

Эта игра помогает на интуитивном уровне подвести детей к понятию относительной частоты.

Надо вырезать из картона 5 одинаковых карточек, написав на них цифры от 1 до 5, затем перетасовать их и выложить на стол в той последовательности, в которой они оказались после перетасовывания, например, в такой:

При этом только одна цифра - 5 - соответствует номеру места, на котором она лежит.

Далее можно сформулировать серию вопросов, на которые дети должны ответить на основании данных, полученных в ходе экспериментов. Такими вопросами могут быть:

1) Как вы думаете, насколько редким является исход

    2) Будет ли еще более редкий случай, когда ни одна карточка не окажется на своем месте? 3) Будет ли случай, когда все карточки лежат на своем месте? 4) Что можно сказать о частоте исхода, когда две (три, четыре) цифры окажутся на своем месте?

Эксперименты можно вести в следующем направлении: провести опыты 10 раз; результаты занести в таблицу и вычислить значение относительной частоты по каждому вопросу при n = 10.

Таблица 2.

Результаты эксперимента

Вопрос

Количество раз

Относительная

Частота

Из 10

Из 20

Из...

Из 100

1

Сколько раз был исход 3,1,4,2,5?

2

Сколько раз был случай, когда ни одна карточка не оказалась на своем месте?

3

Сколько раз все карточки оказались на своем месте?

4

Сколько раз две карточки оказалась на своем месте?

5

Сколько раз три карточки оказалась на своем месте?

6

Сколько раз четыре карточки оказалась на своем месте?

Затем повторить опыт еще 10 раз. На самом деле мы имеем уже 20 опытов, которые опять заносим в таблицу и вычисляем относительную частоту при n = 20. Проделав опыт, например, 100 раз, можно определить приближенное значение вероятности для каждого исхода.

А как определить вероятность на множестве элементарных событий? Далее можно привести формулу классической вероятности (выше мы ее предлагали).

Элементарным, как это видно из самого названия, является самое простое событие, которое нельзя разложить на другие события.

Например, выпадение на кубике четного числа - событие не элементарное. Оно раскладывается на три события: выпала двойка, выпала четверка, выпала шестерка. А вот выпадение каждого числа как раз и есть элементарное событие. При бросании кубика получаем множество из 6-ти элементарных событий. Событию "выпадание четного числа" соответствует подмножество из элементов 2, 4, 6 (мера этого подмножества M = 3). Событию "выпадание числа больше двух" соответствует подмножество из четырех элементов.

Обозначим множество элементарных событий греческой буквой (омега). Тогда можем записать:

. (1)

Пример 1. Пусть событие A - выпадание на кубике четного числа; M(A) = 3. Здесь - множество всех возможных выпаданий; M() = 6. Значит,

.

Пример 2. Возьмем мешок с 10 шариками (4 красных, 3 желтых, 3 синих). Ты наугад вынимаешь из мешка шарик. Множество элементарных событий состоит из 10-ти элементов; каждый элемент - вынимание одного шарика (M() = 10). Множество элементарных событий разбито здесь на три подмножества: красное (M(K) = 4), желтое (M(Ж) = 3), синее (M(С) = 3). Вероятность вытянуть с закрытыми глазами синий шарик определяется по формуле: . Аналогично без труда находятся вероятности P(K) и P(Ж).

Пример 3. Возьмем колоду игральных карт. Элементарное событие - вытягивание карты из колоды. Всего карт 36: . Изобразим множество в виде таблицы:

6

7

8

9

10

В

К

Д

Т

?

?

?

?

Укажи меры следующих подмножеств:

    - всех пиковых карт; - всех дам; - всех карт с картинками (валеты, короли, дамы).

Зная меры указанных подмножеств, определи вероятности вытянуть пиковую карту, вытянуть даму, вытянуть картинку.

По-видимому, для множеств с конечным числом элементов, где мера - число элементов, все ясно.

Похожие статьи




Элементы теории вероятностей и статистики на уроках математики в начальной школе. Методика работы - Элементы теории вероятности в школьном курсе математики

Предыдущая | Следующая