Некоторые вопросы методологии математики - Влияние методологии на последствия принятия решений

Обсудим некоторые методологические вопросы, относящиеся к математике, математическому моделированию, математическим методам исследования. Ранее мы рассматривали методологию статистических метолов [74, 75], но полученные выводы имеют более широкое значение, в частности, лежат в основе новой парадигмы математических методов исследования [76], т. е. новой парадигмы разработки, практического применения и преподавания организационно-экономического моделирования, эконометрики и статистики в техническом университете [19 - 29].

Очевидно, математика создана конкретными людьми. Следовательно, математика - это наука о мысленных конструкциях, не имеющих непосредственного отношения к реальному миру. Первоначально эти конструкции создаются для решения тех или иных прикладных задач, но затем зачастую происходит отрыв от реальности, математики изучают мысленные конструкции, доказывают красивые теоремы, не думая об их связи с практикой.

Хорошим примером с рассматриваемой точки зрения является понятия числа [71]. Обсудим различные виды чисел: математические, прагматические, компьютерные, практически бесконечные. Математики установили бесконечность натурального ряда чисел, построили теорию действительных (вещественных) чисел. Мощность множества действительных чисел - континуум, а мощность его подмножества, состоящего из чисел, которые могут записаны с помощью конечного числа цифр - счетна. Следовательно, почти все математические числа должны изображаться бесконечным числом цифр. Вот он - отрыв от реальности! Все прагматические числа, которыми люди пользуются при записи результатов наблюдений, измерений, испытаний, опытов, анализов, обследований, а также при проведении расчетов, состоят из конечного количества цифр, причем обычно весьма небольшого - достаточно 2 - 5, в крайнем случае 7 - 10 ... Очевидно, количество прагматических чисел конечно, а дальше идут "практически бесконечные". Используемых при расчетах компьютерных чисел, вообще говоря, больше, чем прагматических, но наличие машинного нуля приводит к тому, что математические выводы могут не выполняться при проведении вычислений. Например, сумма чисел, равных обратным величинам к натуральным числам, с точки зрения математики равняется бесконечности. Однако при вычислениях на компьютере все слагаемые, начиная с некоторого, будут приниматься равными машинному нулю, а потому указанная сумма будет конечной. Автору настоящей статьи приходилось видеть, в какой ступор впадали прикладники, получив отрицательную выборочную дисперсию (такое иногда бывает из-за ошибок округления, когда итоговую величину получают как разность двух весьма больших чисел).

Один из методологических выводов состоит в том, что используемые в математических моделях множества целесообразно выбирать состоящими из конечного числа элементов. Для вероятностно-статистических моделей это позволяет избежать обсуждения вопросов измеримости, поскольку можно принять, что все подмножества (конечного множества) измеримы. Тем самым пресекаются бесплодные рассуждения об измеримых или неизмеримых множествах и функциях.

Около полувека назад автору настоящей статьи повезло присутствовать на выступлении А. Н. Колмогорова, который обсуждал соотношение непрерывных и дискретных математических моделей. По мнению А. Н. Колмогорова, непрерывные модели предпочтительнее тогда, когда они облегчают расчеты. Например, вычисление интегралов легче, чем вычисление сумм. Во всех остальных случаях следует предпочитать дискретные модели.

Рассмотрим роль предельных теорем. Достижения математики часто имеют форму предельных теорем. В области теории вероятностей общеизвестными примерами являются законы больших чисел (в том числе в пространствах нечисловой природы), теоремы Муавра-Лапласа (интегральная и локальная), различные варианты центральной предельной теоремы. Теоретические инструменты статистических методов имеют форму предельных теорем [77].

Непосредственное использование предельных теорем при анализе реальных данных невозможно. Их можно применять, если установлено, что допредельное выражение равно предельному с достаточной для практики точностью. Как это установить? Только с помощью соответствующего исследования, основанного на применении подходов прикладной (вычислительной) математики. Необходимо оценивать остаточные члены, в том числе с помощью метода Монте-Карло. При этом могут быть использованы несколько уровней "достаточной для практики точности". Примером тщательной проработки соотношения предельных и допредельных выражений является методика проверки однородности двух выборок параметров продукции при оценке ее технического уровня и качества [78].

Однако и до проведения такой тщательной проработки нельзя утверждать, что практическое значение предельных теорем равно 0. Во-первых, предельные теоремы дают те ориентиры, отклонения от которых надо изучать. А в первом приближении пренебрегать этими отклонениями. Во-вторых, предельные теоремы дают возможность получить правила принятия решений (качество этих правил необходимо в дальнейшем исследовать). Многие подобные правила, полученные в наших работах, в том числе в учебнике [79], требуют такого исследования. Предельные теоремы показывают, что при росте объемов выборок качество этих правил улучшается, то степень отклонения при конкретных объемах выборок остается неизвестной.

Говорят о "больших выборках", если можно применять предельные соотношения, и о "малых выборках", если нельзя. Проблема в том, при каких объемах "малые" выборки переходят в "большие".

Обсуждать условия применимости тех или иных математических теорий к реальному миру, несомненно, полезно, но нет надежды получить законченные результаты. Великий французский математики Анри Лебег пришел к выводу: "Арифметика применима там, где она применима" [80]. Итог сколь справедливый, столь и бесполезный для практического применения.

Вопреки распространенному заблуждению, отнюдь не все статистические методы предполагают использования достаточно больших выборок. Так, выводы при статистической проверке гипотез делаются по Одному наблюдению (хотя и многомерному): решение принимается на основе того, что статистика критерия (одно косвенное наблюдение) попадает или не попадает в критическую область [81].

Основополагающей является роль вероятностно-статистической модели. Конкретный метод расчета приобретает смысл лишь в рамках той или иной вероятностно-статистической модели. Поэтому перед рассмотрением того или иного статистического метода оценивания или проверки гипотез должна быть тщательно описана (и обоснована!) используемая вероятностно-статистическая модель.

Вероятности в вероятностно-статистической модели, как правило, принципиально неизвестны, по статистическим данным могут быть найдены лишь их оценки - частоты.

Обычно исследователю не нужны вероятности всех возможных событий. Необходимы рекомендации по принятию решений. Для их получения, кроме законов больших чисел, применяют (для оценки отклонений) центральные предельные теоремы.

Бесспорно совершенно, что вопросы методологии математики заслуживают подробного и тщательного обсуждения. Очевидно, надо давать строгие формулировки. Например, при анализе основ теории вероятностей - формулировку теоремы Бернулли. К сожалению, философы зачастую пренебрегают строгостью изложения, надеясь за потоком слов скрыть методологическую пустоту [82]. Возможно, это связано с отсутствием базового математического образования.

К реальным сложностям методологии математики, кроме проблем использования предельных теорем, относится тот факт, что алгоритмическому определению случайности не соответствуют датчики псевдослучайных чисел. Согласно алгоритмическому определению случайности А. Н. Колмогорова [83], адекватное описание случайной последовательности не может быть существенно короче длины этой последовательности. Однако датчики псевдослучайных чисел обычно имеют достаточно короткое описание, следовательно, не могут порождать случайную последовательность. Это методологическое утверждение необходимо учитывать при обсуждении свойств и возможностей датчиков псевдослучайных чисел, используемых в методах статистических испытаний (Монте-Карло) [84].

Изложенные в настоящем разделе соображения заслуживает более тщательного критического развертывания.

Методологический управленческий экономический вероятностный

Похожие статьи




Некоторые вопросы методологии математики - Влияние методологии на последствия принятия решений

Предыдущая | Следующая