Зависимость объема выпуска продукции от объема капиталовложений


По предприятиям легкой промышленности региона получена информация, характеризующая зависимость объема выпуска продукции (Y, млн. руб.) от объема капиталовложений (X, млн. руб.)

Требуется:

    1) Построить поле корреляции и сформулировать гипотезу о форме связи. 2) Найти параметры уравнения линейной регрессии и дать ему экономическую интерпретацию. 3) Оценить тесноту связи с помощью показателей корреляции и детерминации. 4) Проверить значимость уравнения регрессии с помощью F-критерия Фишера (б=0,05) и с помощью средней относительной ошибки аппроксимации. Сделать вывод о качестве модели. 5) Проверить выполнимость предпосылок МНК. 6) Рассчитать параметры уравнений степенной и гиперболической регрессий. Дать интерпретацию уравнению степенной регрессии 7) Рассчитать индексы корреляции и детерминации. 8) Оценить значимость построенных моделей регрессий с помощью F-критерия Фишера и средней относительной ошибки аппроксимации. Сделать выводы. 9) С помощью сравнения основных характеристик выбрать лучшее уравнение регрессии и сделать вывод. 10) Осуществите прогнозирование среднего показателя Y при уровне значимости б=0,05, если прогнозное значение фактора Х составит 80% от его максимального значения. Определите доверительный интервал прогноза.

Вариант 2.

X

65

21

21

65

44

87

22

75

25

75

Y

35

13

21

23

18

26

16

30

13

32

Решение

1) Построим поле корреляции.

По виду поля корреляции можно предположить наличие линейной корреляционной зависимости Y по х между двумя рассматриваемыми переменными. Но возможно и построение степенной модели, показательной или гиперболической регрессий.

2) Построим линейную модель парной регрессии.

Рабочая таблица. (При составлении этой таблицы можно воспользоваться математическими функциями ППП Excel)

N

Х

Y

X2

Xy

Y2

1

65

35

4225

2275

1225

26,399

8,601

73,977

24,574

2

21

13

441

273

169

15,619

-2,619

6,859

0,201

3

21

21

441

441

441

15,619

5,381

28,955

0,256

4

65

23

4225

1495

529

26,399

-3,399

11,553

0,148

5

44

18

1936

792

324

21,254

-3,254

10,589

0,181

6

87

26

7569

2262

676

31,789

-5,789

33,513

0,223

7

22

16

484

352

256

15,864

0,136

0,018

0,008

8

75

30

5625

2250

900

28,849

1,151

1,325

0,038

9

25

13

625

325

169

16,599

-3,599

12,953

0,277

10

75

32

5625

2400

1024

28,849

3,151

9,929

0,098

Сумма

500

227

31196

12865

5713

227,24

-0,24

189,671

26,005

Значения параметров а и b линейной модели определим, используя данные таблицы

Уравнение линейной регрессии имеет вид:

С увеличением объема капиталовложений на 1 млн. руб. объем выпуска увеличивается на 0,245млн. руб.

3) Рассчитаем линейный коэффициент парной корреляции по следующей формуле:

Можно сказать, что связь между объемом капиталовложений Х и ее объемом выпускаУпрямая и сильная.

Рассчитаем коэффициент детерминации:

RYx=r2Yx=0,661

Вариация результата У (объем выпуска) на 66.1% объясняется вариацией фактора Х (объемом капиталовложений). На остальные факторы, неучтенные в модели, приходится 33.9%.

4) Оценку значимости уравнения регрессии проведем с помощью F-критерий Фишера:

FФакт = 15.63>FТабл = 5.32 для б=0,05; k1=m=1, k2=n-m-1=8, где m-число объясняющих факторов в модели. Уравнение регрессии с вероятностью 0,95 в целом статистическизначимое, так как FФакт>FТабл

Определим среднюю относительную ошибку аппроксимации:

В среднем расчетные значения для линейной модели отличаются от фактических значений на 2.6%, что не находится в пределах нормы, то есть качество модели хорошее.

    5) Проверим предпосылки МНК. А) Проверка равенства математического ожидания остаточной последовательности нулю.

Вычислим среднее значение ряда остатков.

.

Так как, то модель не содержит постоянной систематической ошибки и адекватна по критерию нулевого среднего.

Б) Проверка свойства гомоскедастичности

Расположим значения факторного признака в порядке возрастания.

21

65

21

65

22

75

25

75

44

87

Разделим совокупность наблюдений на две группы и для каждой группы с помощью программы

Анализ данных в EXCEL,

Инструмент Регрессия определим параметры уравнений регрессий и остаточные суммы квадратов.

Таблица 2.4

Расчетные значения

Уравнение регрессии

Остаток

1 группа

2 группа

Расчетный критерий равен:

.

Табличное значение F-критерия c

И

Степенями свободы и при доверительной вероятности 0,95 равно 6,39.

Величина

не превышает табличное значение F-критерия, следовательно, свойство гомоскедастичности выполняется.

В)Проверку независимости последовательности остатков(отсутствие автокорреляции) осуществим с помощью D-критерия Дарбина-Уотсона.

.

Расчетное значение критерия сравнивается с нижним и верхним критическими значениями статистики Дарбина-Уотсона. При N=10 и уровне значимости 5%, , .

Поскольку, то гипотеза о независимости остатков принимается и модель признается адекватной по данному критерию.

Г) Случайные отклонения должны быть независимы от объясняющих переменных.

Так как, то

Д) Проверку соответствия распределения остаточной последовательности нормальному закону распределения осуществим с помощью R/S-критерия. формуле:

.

Расчетное значение R/S-критерия сравнивается с табличными значениями (нижней и верхней границами данного отношения).

Нижняя и верхняя границы отношения при уровне значимости равны соответственно 2,67 и 3,57.

Расчетное значение отношения попадает в интервал между критическими границами, следовательно, с заданным уровнем значимости гипотеза о нормальности распределения принимается.

Выполним пункты 6)-8) для степенной модели

6) Построение степенной модели парной регрессии.

Уравнение степенной модели имеет вид:

Для построения этой модели необходимо произвести линеаризацию переменных. Для этого произведем логарифмирование обеих частей уравнения:

.

Обозначим

Тогда уравнение примет вид: , то есть получили линейное уравнение регрессии. Рассчитаем его параметры, используя МНК.

Составим рабочую таблицу.

N

X

У

Y

X2

XY

*100

1

65

1,8129

35

1,5441

3,2867

2,7993

1,4205

0,1236

0,0153

8,0056

0,0471

2

21

1,3222

13

1,1139

1,7483

1,4729

1,1751

-0,0612

0,0037

5,4910

0,0454

3

21

1,3222

21

1,3222

1,7483

1,7483

1,1751

0,1471

0,0216

11,1260

0,0000

4

65

1,8129

23

1,3617

3,2867

2,4687

1,4205

-0,0587

0,0034

4,3128

0,0012

5

44

1,6435

18

1,2553

2,7009

2,0630

1,3357

-0,0805

0,0065

6,4093

0,0051

6

87

1,9395

26

1,4150

3,7617

2,7444

1,4838

-0,0688

0,0047

4,8613

0,0077

7

22

1,3424

16

1,2041

1,8021

1,6164

1,1852

0,0189

0,0004

1,5703

0,0151

8

75

1,8751

30

1,4771

3,5159

2,7697

1,4515

0,0256

0,0007

1,7325

0,0225

9

25

1,3979

13

1,1139

1,9542

1,5572

1,2130

-0,0990

0,0098

8,8897

0,0454

10

75

1,8751

32

1,5051

3,5159

2,8222

1,4515

0,0536

0,0029

3,5624

0,0317

?

500

16,344

227

13,312

27,3206

22,0621

13,312

0,0690

55,96

0,2214

Уравнение регрессии имеет вид:

Перейдем к исходным переменным х и у, выполнив потенцирование данного уравнения.

Получим уравнение степенной модели регрессии

Так как в уравнении степенной регрессии параметр b совпадает с коэффициентом эластичности, то уравнение регрессии можно проинтерпретировать следующим образом: с увеличением объема капиталовложений на 1% объем выпуска увеличивается в среднем на 0,5%.

    7) Определим индекс корреляции 8)

Связь между показателем у и фактором х можно считать сильной, так как R>0,7. Коэффициент детерминации

Вариация результата У (объем выпуска) на 68,8% объясняется вариацией фактора Х (объемом капиталовложений). На остальные факторы, неучтенные в модели, приходится 31,2%

9) Рассчитаем F-критерий Фишера:

для б=0,05; K1=m=1, k2=n-m-1=8.

Уравнение регрессии с вероятностью 0,95 в целом статистически значимое, так как

Определим среднюю относительную ошибку аппроксимации:

В среднем расчетные значения для степенной модели отличаются от фактических значений на 5,6%, что находится в пределах нормы, то есть качество модели хорошее.

Выполним пункты 6)-8) для гиперболической модели.

6) Построение гиперболической модели парной регрессии.

Уравнение гиперболической регрессии:

.

Произведем линеаризацию модели путем замены

.

В результате получим линейное уравнение

Рассчитаем его параметры по данным следующей рабочей таблицы.

№

Х

У

Z

Yz

1

65

35

0,0154

0,5385

0,0002

1225

27,3592

7,6408

58,3816

21,8308

118,81

2

21

13

0,0476

0,6190

0,0023

169

14,6856

-1,6856

2,8412

12,9659

123,21

3

21

21

0,0476

1,0000

0,0023

441

14,6856

6,3144

39,8720

30,0687

9,61

4

65

23

0,0154

0,3538

0,0002

529

27,3592

-4,3592

19,0028

18,9531

1,21

5

44

18

0,0227

0,4091

0,0005

324

24,4723

-6,4723

41,8906

35,9572

37,21

6

87

26

0,0115

0,2989

0,0001

676

28,8888

-2,8888

8,3451

11,1107

3,61

7

22

16

0,0455

0,7273

0,0021

256

15,5366

0,4634

0,2147

2,8963

65,61

8

75

30

0,0133

0,4000

0,0002

900

28,1657

1,8343

3,3646

6,1143

34,81

9

25

13

0,0400

0,5200

0,0016

169

17,6812

-4,6812

21,9133

36,0089

123,21

10

75

32

0,0133

0,4267

0,0002

1024

28,1657

3,8343

14,7017

11,9821

62,41

?

500

227

0,2724

5,2932

0,0097

5713

226,9999

0,0001

210,5275

187,8881

579,70

Уравнение регрессии имеет вид:

7) Определим индекс корреляции

Связь между показателем У и фактором Х можно считать сильной, так как R>0,7

Индекс детерминации: детерминации

Вариация результата У (объем выпуска) на 62,4% объясняется вариацией фактора Х (объемом капиталовложений). На остальные факторы, неучтенные в модели, приходится 37,6%.

8) Рассчитаем F-критерий Фишера:

для б=0,05; k1=m=1, k2=n-m-1=8.

Уравнение регрессии с вероятностью 0,95 в целом статистическизначимое, так как

Средняя относительная ошибка:

В среднем расчетные значения для гиперболической модели отличаются от фактических значений У на 28,8%, что выходит за пределы нормы. корреляция регрессия гиперболический детерминация

9) Выбор лучшей модели.

Для выбора лучшей модели построим сводную таблицу результатов.

Коэффициент детерминации R

F-критерий Фишера

Коэффициент (индекс) корреляции

Относительная ошибка

Линейная

0,661

15,63

0,813

2,6

Степенная

0,688

17,64

0,829

5,6

Гиперболическая

0,624

13,28

0,79

18,8

Линейная и степенная модели имеют примерно равные характеристики, но большее значение F-критерия Фишера и большее значение коэффициента детерминации имеет степеннаямодель. Ее можно взять в качестве лучшей для построения прогноза.

10) XMax=87, следовательно, xP=87-0,8=69,6

Рассчитаем доверительный интервал прогноза

Выполненный прогноз оказался надежным (р=1-б=1-0,05=0,95), достаточно точным, так как диапазон границ не выходит за пределы.

Похожие статьи




Зависимость объема выпуска продукции от объема капиталовложений

Предыдущая | Следующая