Введение - Стохастическая полумарковская модель

Анализ функционирования экономических систем пожалуй самое востребованное в современном мире направление стохастической теории управления. Например, в экономической среде крайне важной является проблема хранения и поставка товаров непосредственному потребителю.

В таких системах задача оптимального управления обычно формулируется как задача по определению оптимальных значений параметров вероятностных распределений или случайных процессов, доставляющих экстремум некоторому заданному показателю качества управления.

Существует множество работ над стохастической теорией запасов. Стоит отметить несколько изданий, посвященных данной проблеме, в том числе работы [1-4]. Также, исследование некоторых общих полумарковских моделей управления запасом проводилось в работах [5,6].

Стохастическая модель регенерирующего процесса с управлением, описывающая некоторую систему, которая предназначена для хранения и поставки потребителю непрерывного продукта, была исследована в работах [7-9]. Эти базовые для данной работы статьи имеют особенность в том, что в результате пополнения запаса непрерывный параметр, характеризующий объем продукта, фиксировано задается максимальным значением возможного объема хранения запаса в момент его пополнения. Благодаря этой особенности было возможно использовать для описания модели регенерационный процесс, с моментами регенерации, представляющими непосредственный момент пополнения запаса некоего продукта. В данном случае, показателями качества управления были стационарные функционалы, напрямую связанные с регенерирующим процессом: средняя удельная прибыль и средние удельные затраты. Было установлено, что в данном случае детерминированная стратегия является оптимальной стратегией управления, а так же, что оптимальное значение параметра управления является точкой глобального экстремума некоторой заданной функции одной переменной, которая соответствует исходному показателю качества управления.

Основные результаты такого исследования, как и в данной работе, были сформулированы в виде теорем. Было доказано, что для рассматриваемой задачи при нормальных условиях существует явное аналитическое решение, и, более того, было приведено конкретное численное решение оптимизационной задачи.

В этой работе, в отличие от приведенных выше, исследуется более сложная система управления запасом, которая тем не менее базируется на предыдущей. Так же как и в работах [7, 8], потребление некоторого продукта идет с заранее заданной неизменной скоростью ; параметром управления является случайное время между моментами пополнения запаса продукта и заказа на очередное пополнение. Так же как в работе [9] пополнение запаса происходит по сложной схеме, c учетом состояния системы до и после пополнения момента регенерации, а также учитываются отклонения на случайную величину от планируемого объема поставки. Однако, в данной работе учитываются дополнительные стоимостные характеристики, а точнее оплата за поставку продукта. Данные изменения делают необходимым пересмотр результатов предыдущих работ и уточнения итогового аналитического решения.

Во всех из вышеперечисленных работ вводится дополнительный случайный процесс для сведения задачи к полумарковскому случаю. Таким образом, в итоге, в описываемой системе используются следующие случайные процессы:

1) Главный (основной) процесс, значение которого является характеристикой объема запаса товара, который находится в системе непосредственно в момент времени.

2) Сопровождающий управляемый полумарковский процесс с конечным множеством состояний (t).

Использование сопровождающего процесса является стандартным ходом и служит для того, что бы можно было применить для решения данной задачи известные результаты по управлению полумарковским процессом с конечным множеством состояний стационарными стоимостными показателями качества управления. В итоге было установлено, что оптимальной стратегией управления является детерминированная стратегия, задаваемая набором фиксированных значений параметра управления, которые соответствуют каждому из состояний введенного случайного процесса. Этот набор оптимальных значений параметра управления является точкой глобального экстремума функции от нескольких вещественных переменных. В настоящем исследовании указано явное представление для функции, которая соответствует стационарному стоимостному функционалу средней удельной прибыли. Для описания данной функции используются вероятностные и стоимостные характеристики модели. Их явные представления определены и представлены в виде теорем. Всего есть три такие характеристики:

    1) Вероятности перехода цепи Маркова, вложенной в сопровождающий полумарковский процесс; 2) Математические ожидания длительностей пребывания сопровождающего полумарковского процесса в различных состояниях. 3) Математические ожидания прибыли, связанной с пребыванием сопровождающего полумарковского процесса в различных состояниях.

Последняя характеристика претерпевает наибольшие изменения в данной работе, так как основные нововведения сосредоточены на уточнении функционала прибыли и добавления новых переменных.

Полученный в ходе работы результат позволяет воплотить численный алгоритм по определения оптимальных значений параметров управления для любых заданных исходных характеристик рассматриваемой модели.

Полумарковский стохастический вероятностный управление

Похожие статьи




Введение - Стохастическая полумарковская модель

Предыдущая | Следующая