Визначення закону розподілу випадкової величини - Статистичне моделювання процесу функціонування асинхронного двигуна з вентильним збудженням
Визначення закону розподілу магнітної проникності в сталі обмотки ротора.
У даному розділі ми розглянемо дві випадкові величини. Це магнітна проникність µ та питомий опір с.
Припустимо, що в нашому розпорядженні результати спостережень над безперервною випадковою величиною (позначимо її через ), оформлені у вигляді простої статистичної сукупності.
Таблиця 3.1. Результати можливих значень
N |
I, H/A2-10-6 |
N |
I, H/A2-10-6 |
1 |
4500 |
16 |
4802 |
2 |
4520 |
17 |
4882 |
3 |
4540 |
18 |
4810 |
4 |
4603 |
19 |
4900 |
5 |
4624 |
20 |
4825 |
6 |
4628 |
21 |
4809 |
7 |
4609 |
22 |
4892 |
8 |
4638 |
23 |
4930 |
9 |
4744 |
24 |
4946 |
10 |
4780 |
25 |
4930 |
11 |
4749 |
26 |
4950 |
12 |
4755 |
27 |
5060 |
13 |
4741 |
28 |
5065 |
14 |
4750 |
29 |
5008 |
15 |
4779 |
30 |
5088 |
Розділимо весь діапазон спостережених значень Х на інтервали або "розряди" і підрахуємо кількість значень, що доводяться на кожний і-тий розряд. Це число розділимо на загальне число спостережень n і знайдемо частоту, що відповідає даному розряду:
- частота розряду;
Сума частот всіх розрядів, очевидно, повинна дорівнювати одиниці.
Побудуємо таблицю, у якій наведені розряди в порядку їхнього розташування уздовж осі абсцис і відповідні частоти. Ця таблиця називається статистичним рядом. Число розрядів, на які варто групувати статистичний ряд, не повинне бути занадто великим (тоді ряд розподілу стає невиразним, і частоти у ньому виявляють незакономірні коливання); з іншого боку, воно не повинне бути занадто малим (при малому числі розрядів властивості розподілу описуються статистичним рядом занадто грубо). Практика показує, що в більшості випадків раціонально вибирати число розрядів порядку 10-20. Довжини розрядів можуть бути як однаковими, так і різними. Простіше, розуміється брати їх однаковими.
Нехай зроблено 30 спостережень над безперервною величиною магнітною проникністю сталі. Результати вимірів зведені в статистичний ряд.
Таблиця 3.2. Статистичний ряд
-10-6 |
4500-4600 |
4601-4700 |
4701-4800 |
4801 - 4900 |
4901-5000 |
5001-5100 |
3 |
5 |
7 |
7 |
4 |
4 | |
0,1 |
0,17 |
0,235 |
0,235 |
0,13 |
0,13 |
Статистичний ряд часто оформлюється графічно у вигляді так званої гістограми. Гістограма будується в такий спосіб. По осі абсцис відкладаються розряди і на кожному з розрядів як їхній основі будується прямокутник, площа якого дорівнює частоті даного розряду. Для побудови гістограми потрібно частоту кожного розряду розділити на його довжину й отримане число взяти як висоту прямокутника. У випадку рівних по довжині розрядів висоти прямокутників пропорційні відповідним частотам. Зі способу побудови діаграми виходить, що повна площа її дорівнює одиниці.
Побудуємо гістограму по даним таблиці 3.2:
Рисунок 3.1. Гістограма, яка відображає вхідні дані
У всякому статистичному розподілі неминуче присутні елементи випадковості, пов'язані з тим, що число спостережень обмежене, що зроблено саме ті, а не інші досліди, що дали саме ті, а не інші результати. Тільки при дуже великій кількості спостережень ці елементи випадковості згладжуються, і випадкове явище виявляє повною мірою властиву йому закономірність. На практиці ми майже ніколи не маємо справи з таким великим числом спостережень і змушені зважати на те, що будь-якому статистичному розподілу властиві в більшій або меншій мірі риси випадковості. Тому при обробці статистичного матеріалу часто доводиться вирішувати питання про те, як підібрати для даного статистичного ряду теоретичну криву розподілу, що виражає лише істотні риси статистичного матеріалу, але не випадковості, пов'язані з недостатнім обсягом експериментальних даних. Таке завдання називається завданням вирівнювання (згладжування) статистичних рядів.
Завдання вирівнювання полягає в тому, щоб підібрати теоретичну плавну криву розподілу, яка з тієї або іншої точки зору щонайкраще описує даний статистичний розподіл.
Як правило, принциповий вид теоретичної кривої вибирається заздалегідь із міркувань, пов'язаних із суттю завдання, а в більшості випадків просто із зовнішнім виглядом статистичного розподілу. Аналітичне вираження обраної кривої розподілу залежить від деяких параметрів; завдання вирівнювання статистичного ряду переходить у завдання раціонального вибору тих значень параметрів, при яких відповідність між статистичним і теоретичним розподілами виявилися найкращими.
З теоретичних міркувань і по зовнішньому вигляду статистичного розподілу будемо вважати, що величина Х підкоряється нормальному закону розподілу (розподіл Гауса) на відрізку від 4500 до 5100. Щільність розподілу має вигляд:
За формулою для математичного сподівання нормального закону розподілу і з даного графіку видно, що
При
Таким чином, . Приймаємо хо= 4800-10-6
Таблиця 3.3. Розрахункові дані
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
-10-6 |
4500-4600 |
4601-4700 |
4701-4800 |
4801 - 4900 |
4901-5000 |
5001-5100 |
M |
3 |
5 |
7 |
7 |
4 |
4 |
PI |
0,1 |
0,17 |
0,235 |
0,235 |
0,13 |
0,13 |
Xi' 10-6 |
-8,33 |
-5,00 |
-1,67 |
1,67 |
5,00 |
8,33 |
Xi 10-6 |
4550 |
4650 |
4750 |
4850 |
4950 |
5050 |
M-xi'10-6 |
-24,99 |
-25,00 |
-11,69 |
11,69 |
20,00 |
33,32 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
Mxi'210-12 |
208,17 |
125,00 |
19,52 |
19,52 |
100,00 |
277,56 |
Mxi'310-18 |
-1734,03 |
-625,00 |
-32,60 |
32,60 |
500,00 |
2312,04 |
Mxi'410-24 |
14444,46 |
3125,00 |
54,45 |
54,45 |
2500,00 |
19259,28 |
Розраховуємо початкові моменти (А1, а2, а3, а4):
;
Розраховуємо центральні моменти (m2, m3, m4),
M2 = a2 - a12 = 24,978 10-12;
M3 = a3 - 3a1A2 + 2a13 = 444,47 10-18;
M4 = a4 - 4a1A3 + 6a12A2 - 3a14 =1115,3 10-24.
Розраховуємо середнє квадратичне відхилення величини Х
- середнє квадратичне відхилення.
Дисперсія
Модою даного розподілу є величина, тобто максимальне значення розподілу.
Оскільки розподіл симетричний, то медіана
.
Так як для нормального закону, то асиметрія його також дорівнює нулю:
Ексцес нормального розподілу також дорівнює нулю:
Рисунок 3.2. Крива щільності розподілу
Метод максимума-мінімума
При зміні магнітної проникності, змінюється магнітна індукція В:
Визначення закону розподілу індуктивності опору розсіювання обмотки статора.
Припустимо, що в нашому розпорядженні результати спостережень над безперервною випадковою величиною.
Таблиця 3.4. Вихідні дані
N |
С-10-8, Ом-м |
N |
С-10-8, Ом-м |
N |
С-10-8, Ом-м |
1 |
12,0 |
11 |
13,0 |
21 |
14,2 |
2 |
12,2 |
12 |
13,1 |
22 |
14,4 |
3 |
12,3 |
13 |
12,8 |
23 |
14,3 |
4 |
12,5 |
14 |
13,2 |
24 |
14,5 |
5 |
12,55 |
15 |
12,9 |
25 |
14,9 |
6 |
12,1 |
16 |
13,45 |
26 |
15,2 |
7 |
12,6 |
17 |
13,5 |
27 |
15,4 |
8 |
12,12 |
18 |
14,0 |
28 |
15,6 |
9 |
12,75 |
19 |
13,7 |
29 |
16,0 |
10 |
12,9 |
20 |
14,0 |
30 |
16,8 |
Розділимо весь діапазон значень Х, що спостерігаються, на інтервали або "розряди" і підрахуємо кількість значень, що доводиться на кожен і-ий розряд. Це число розділимо на загальне число спостережень n і знайдемо частоту, відповідну даному розряду:
,
Де - частота розрядів;
Сума частот всіх розрядів, очевидно, повинна бути рівна одиниці.
Побудуємо таблицю, в якій приведені розряди в порядку їх розташування уздовж осі абсцис і відповідні частоти. Нехай проведено 30 спостережень значення індуктивності опору розсіювання обмотки статора. Результати вимірювань зведені в статистичний ряд.
Таблиця 3.5. Розрахункові дані
С-10-8, Ом-м | |||
12,0 |
12,7 |
8 |
0,27 |
12,7 |
13,4 |
7 |
0,23 |
13,4 |
14,1 |
5 |
0,17 |
14,1 |
14,8 |
4 |
0,13 |
14,8 |
15,5 |
3 |
0,10 |
15,5 |
16,2 |
2 |
0,07 |
16,2 |
17,0 |
1 |
0,03 |
Побудуємо гістограму розподілу питомого опору в сталі статора
Рисунок 3.3. Гістограма розподілу опору індуктивності розсіювання статора
Проведемо вирівнювання (згладжування) статистичних рядів.
З теоретичних міркувань і за зовнішнім виглядом статистичного розподілу вважатимемо, що величина с підкоряється закону розподілу Ерланга.
Розподілом Ерланга k-го порядку називається розподіл, який описує безперервну випадкову величину X, що приймає додатні значення в інтервалі (0; + ?) і представляє собою суму k незалежних випадкових величин, розподілених по одних і тих же експоненціальних законах з параметром л. Функція і щільність розподілу Ерланга k-го порядку мають вигляд:
Де л і k - позитивні параметри розподілу (л ? 0; x = 1, 2,...); x ? 0 - неперервна випадкова величина.
При k = 1 розподіл Ерланга вироджується в експоненціальний
Експоненційний розподіл залежить тільки від одного параметру, який позначається буквою л і являє собою середню кількість запитів, які поступають в систему за одиницю часу. Величина 1/ л дорівнює середньому проміжку часу, який проходить між двома послідовними запитами.
Імовірність настання наступного вимірювання визначається по формулі:
Де е - основа натурального логарифма, дорівнює 2,71828, л - значення, яке максимально повторюється (л=0,27), x - значення безперервної величини, 12-10-8 < x < 17-10-8.
Побудуємо функцію розподілу експоненціального закону:
Рисунок 3.4. Функція розподілу опору індуктивності розсіювання статора
Щільність розподілу задається формулою:
Для даного випадку:
Рисунок 3.5. Крива щільності розподілу питомого опору обмотки статора
Основні характеристики експоненціального розподілу:
Математичне сподівання:
Дисперсія:
Метод максимума-мінімума
При зміні питомого опору, відповідно змінюється електричний опір R в сталевій обмотці статора:
Питомий турбодетандер ний магнітний опір
;
Визначено закон розподілу магнітної проникності в сталі обмотки ротора. З теоретичних міркувань і по зовнішньому вигляду статистичного розподілу вирішено вважати, що величина Х (µ) підкоряється нормальному закону розподілу (розподіл Гауса) на відрізку від 4500-10-6 Н/А2 до 5100-10-6 Н/А2. Побудовано гістограму розподілу вхідних величин та криву щільності розподілу. Розраховано середнє квадратичне відхилення величини, дисперсію, моду та медіану. Ексцес та асиметрія для нормального розподілу дорівнює нулю. Здійснено розрахунок методом максимума-мінімума.
Для характеристики зміни випадкової величини питомого опору с, який змінюється в межах (12...17)-10-8 Ом-м обрано розподіл Ерланга, який при k = 1 вироджується в експоненціальний. Побудовано гістограму розподілу вхідних величин та криву щільності розподілу та функцію розподілу експоненціального закону. Визначено криву щільності розподілу питомого опору статорної обмотки. Здійснено розрахунок методом максимуму-мінімуму.
Похожие статьи
-
Конструкція та принцип дії турбодетандерної установки Принцип роботи турбодетандера заснований на розширенні газу в робочому колесі. Газ віддає енергію,...
-
Індуктивність, що зв'язує потік розсіювання обмотки з протікаючим по ній струмом, називається індуктивністю розсіювання Підключення кінцевої...
-
Нехай ми маємо вибірку значень випадкової величини Х= x1, x2, .... xN, з кількістю спостережень - N. Розіб'ємо весь діапазон можливих значень...
-
BONAQUA МОРШИНСЬКА ЗНАМЕНІВСЬКА МИРГОРОДСЬКА Статистична обробка результатів аналізу Перевірка отриманих результатів вимірювання загальної лужності...
-
Проверка гипотез о законе распределения, Критерий К. Пирсона - Проверка статистических гипотез
Критерий К. Пирсона Использование этого критерия основано на применении такой меры (статистики) расхождения между теоретическим F(x) и эмпирическим...
-
(1.1) , (1.2) , (1.3) . (1.4) Запишемо математичну модель короткозамкненого асинхронного двигуна в системі координат статора (a-b), записану через...
-
Так как частота вращения магнитного поля статора nо = 60f/р, то регулирование частоты вращения асинхронного двигателя можно производить изменением...
-
Введение резисторов в цепь ротора приводит к увеличению потерь мощности и снижению частоты вращения ротора двигателя за счет увеличения скольжения,...
-
Ступенчатое регулирование скорости можно осуществить, используя специальные многоскоростные асинхронные двигатели с короткозамкнутым ротором. Из...
-
Законы распределений дискретных случайных величин. - Распределение вероятности случайных величин
Пусть некоторая СВ является дискретной, т. е. может принимать лишь фиксированные (на некоторой шкале) значения X I. В этом случае ряд значений...
-
В воздушном зазоре электрических машин всегда, наряду с основной гармонической составляющей вращающегося магнитного поля, присутствуют гармонические...
-
Визначення дисперсії випадкової величини за результатами вимірювання загального вмісту катіонів кальцію та магнію BONAQUA МОРШИНСЬКА ЗНАМЕНІВСЬКА...
-
Пример 1 Далеко не во всех случаях цепь представляет собой совокупность лишь последовательно и параллельно соединенных ветвей. В качестве примера...
-
ВВЕДЕНИЕ - Основные законы электротехники и их использование
Электротехника - это наука о процессах, связанных с практическим применением электрических и магнитных явлений. Так же называют отрасль техники, которая...
-
Загальна модель розподілу інвестиційних ресурсів та оцінки інвестиційного проекту Інвестиційний проект має бути науково обгрунтованим, відповідати певним...
-
Так як підприємство має інвестиційні ресурси, що можуть бути вкладені тільки в один з проектів, то для дослідження ефективності розподілу інвестиційних...
-
Распределение Вейбулла, Нормальное распределение - Законы надежности
Двухпараметрическое распределение Вейбулла является более гибким, чем экспоненциальное, которое может рассматриваться как частный случай первого....
-
Уточнений розрахунок - Автоматизація технологічного процесу полімерізації вінілхлориду
Приймемо динамічну в'язкість і густину реакційного середовища по кінцевій концентрації полімера в апараті. При заданому часі гомогенізації частота...
-
Электролиз - физико-химический процесс, состоящий в выделении на Электродах составных частей растворенных веществ или других веществ, который возникает...
-
Экспоненциальное распределение - Законы надежности
Известное выражение для вероятности безотказной работы при = const превращается в зависимость, соответствующую экспоненциальному закону распределения ,...
-
Законы стехиометрии - Введение в химию
Основные законы стехиометрии, включающие законы количественных соотношений между реагирующими веществами с помощью уравнений химических реакций, вывод...
-
Структура дослідження інтеракційного та трансакційного полів розподілу доходів в моделі одиничної економіки агрегованого ринку Інституційний аспект...
-
Аналізуючи результати, які були отримані у другому розділі роботи щодо фінансово-господарського стану підприємства, можна зробити висновки про...
-
У роботі розглядаються безперервні функції F З періодом 2p і їх наближення тригонометричними поліномами. Через Tn(x) Позначається тригонометричний...
-
Нескінченно мала й нескінченно велика величини - Основи вищої математики
Визначення . Змінна N , що має межу рівну 0, називається нескінченно малою величиною, якщо для кожного > 0 знайдеться n 0 таке, що | N |< ( N > N 0) ....
-
Визначення : Скалярний добуток двох векторів і дорівнює добутку модулів цих векторів на косинус кута між ними . (6.1) Таким чином, скалярний добуток двох...
-
Поряд з оцінкою інвестиційних проектів за критерієм ефективності здійснюється їхня оцінка за рівнем інвестиційного ризику і рівнем ліквідності. Мірою...
-
Концепція економіко-математичного моделювання процесу оптимізації обслуговування виробництва газотранспортних підприємств В сучасних умовах активної...
-
Імітаційне комп'ютерне моделювання процесу організації підприємницького інноваційного центру за допомогою програмного пакету "Ithink" В статті робиться...
-
Нормальное распределение - Распределение вероятности случайных величин
Первым, фундаментальным по значимости, является т. н. Нормальный закон Распределения непрерывной случайной величины X, для которой допустимым является...
-
В настоящее время нельзя назвать область человеческой деятельности, в которой в той или иной степени не использовались бы методы моделирования. Особенно...
-
Проверка нормальности распределения - Основы научных исследований
Асимметрия и эксцесс позволяют произвести приближенную проверку нормальности распределения. Очевидно, что симметричное и не имеющее эксцесса унимодальное...
-
Методы изучения связи качественных признаков - Основы эконометрики
При наличии соотношения между вариацией качественных признаков говорят об их ассоциации, взаимосвязанности. Для оценки связи в этом случае используют ряд...
-
Основные сведения о частотно-регулируемом электроприводе - Частотный преобразователь
Частотный преобразователь в комплекте с асинхронным электродвигателем позволяет заменить электропривод постоянного тока. Системы регулирования скорости...
-
Имеется выборка объема n экспериментальных значений. Предполагаем, что ошибки вычисления пренебрежимо малы, а случайные ошибки измерения температур...
-
Генеральная совокупность и выборка - Основы научных исследований
Распределение случайной величины содержит всю информацию о ее статистических свойствах. Много ли нужно знать значений случайной величины, чтобы построить...
-
Теореми про межі. Чудові межі - Основи вищої математики
Будемо розглядати сукупність функцій, які залежать від того самого аргументу Х , при цьому Ха або Х . Доведення проводиться для одного із цих випадків,...
-
ДОПУЩЕНИЯ МОДЕЛИ РЕГРЕССИОННОГО АНАЛИЗА, ФАКТОРНЫЙ АНАЛИЗ - Многомерный статистический анализ
Регрессионная модель при оценке параметров и проверке значимости исходит из ряда допущений: 1. Ошибочный член уравнения регрессии (остаточный компонент)...
-
Бесконечные пределы - Свойства функций
Функция называется Бесконечно малой при (или, или ) если для сколь угодно малого положительного числа найдется такое положительное число (), что для всех...
-
В общем случае: , где Для не корреляционных случайных величин: Ответ на билет 15 В широком смысле слова, закон больших чисел характеризует устойчивость...
Визначення закону розподілу випадкової величини - Статистичне моделювання процесу функціонування асинхронного двигуна з вентильним збудженням