Визначення закону розподілу випадкової величини - Статистичне моделювання процесу функціонування асинхронного двигуна з вентильним збудженням

Визначення закону розподілу магнітної проникності в сталі обмотки ротора.

У даному розділі ми розглянемо дві випадкові величини. Це магнітна проникність µ та питомий опір с.

Припустимо, що в нашому розпорядженні результати спостережень над безперервною випадковою величиною (позначимо її через ), оформлені у вигляді простої статистичної сукупності.

Таблиця 3.1. Результати можливих значень

N

I, H/A2-10-6

N

I, H/A2-10-6

1

4500

16

4802

2

4520

17

4882

3

4540

18

4810

4

4603

19

4900

5

4624

20

4825

6

4628

21

4809

7

4609

22

4892

8

4638

23

4930

9

4744

24

4946

10

4780

25

4930

11

4749

26

4950

12

4755

27

5060

13

4741

28

5065

14

4750

29

5008

15

4779

30

5088

Розділимо весь діапазон спостережених значень Х на інтервали або "розряди" і підрахуємо кількість значень, що доводяться на кожний і-тий розряд. Це число розділимо на загальне число спостережень n і знайдемо частоту, що відповідає даному розряду:

- частота розряду;

Сума частот всіх розрядів, очевидно, повинна дорівнювати одиниці.

Побудуємо таблицю, у якій наведені розряди в порядку їхнього розташування уздовж осі абсцис і відповідні частоти. Ця таблиця називається статистичним рядом. Число розрядів, на які варто групувати статистичний ряд, не повинне бути занадто великим (тоді ряд розподілу стає невиразним, і частоти у ньому виявляють незакономірні коливання); з іншого боку, воно не повинне бути занадто малим (при малому числі розрядів властивості розподілу описуються статистичним рядом занадто грубо). Практика показує, що в більшості випадків раціонально вибирати число розрядів порядку 10-20. Довжини розрядів можуть бути як однаковими, так і різними. Простіше, розуміється брати їх однаковими.

Нехай зроблено 30 спостережень над безперервною величиною магнітною проникністю сталі. Результати вимірів зведені в статистичний ряд.

Таблиця 3.2. Статистичний ряд

-10-6

4500-4600

4601-4700

4701-4800

4801 - 4900

4901-5000

5001-5100

3

5

7

7

4

4

0,1

0,17

0,235

0,235

0,13

0,13

Статистичний ряд часто оформлюється графічно у вигляді так званої гістограми. Гістограма будується в такий спосіб. По осі абсцис відкладаються розряди і на кожному з розрядів як їхній основі будується прямокутник, площа якого дорівнює частоті даного розряду. Для побудови гістограми потрібно частоту кожного розряду розділити на його довжину й отримане число взяти як висоту прямокутника. У випадку рівних по довжині розрядів висоти прямокутників пропорційні відповідним частотам. Зі способу побудови діаграми виходить, що повна площа її дорівнює одиниці.

Побудуємо гістограму по даним таблиці 3.2:

гістограма, яка відображає вхідні дані

Рисунок 3.1. Гістограма, яка відображає вхідні дані

У всякому статистичному розподілі неминуче присутні елементи випадковості, пов'язані з тим, що число спостережень обмежене, що зроблено саме ті, а не інші досліди, що дали саме ті, а не інші результати. Тільки при дуже великій кількості спостережень ці елементи випадковості згладжуються, і випадкове явище виявляє повною мірою властиву йому закономірність. На практиці ми майже ніколи не маємо справи з таким великим числом спостережень і змушені зважати на те, що будь-якому статистичному розподілу властиві в більшій або меншій мірі риси випадковості. Тому при обробці статистичного матеріалу часто доводиться вирішувати питання про те, як підібрати для даного статистичного ряду теоретичну криву розподілу, що виражає лише істотні риси статистичного матеріалу, але не випадковості, пов'язані з недостатнім обсягом експериментальних даних. Таке завдання називається завданням вирівнювання (згладжування) статистичних рядів.

Завдання вирівнювання полягає в тому, щоб підібрати теоретичну плавну криву розподілу, яка з тієї або іншої точки зору щонайкраще описує даний статистичний розподіл.

Як правило, принциповий вид теоретичної кривої вибирається заздалегідь із міркувань, пов'язаних із суттю завдання, а в більшості випадків просто із зовнішнім виглядом статистичного розподілу. Аналітичне вираження обраної кривої розподілу залежить від деяких параметрів; завдання вирівнювання статистичного ряду переходить у завдання раціонального вибору тих значень параметрів, при яких відповідність між статистичним і теоретичним розподілами виявилися найкращими.

З теоретичних міркувань і по зовнішньому вигляду статистичного розподілу будемо вважати, що величина Х підкоряється нормальному закону розподілу (розподіл Гауса) на відрізку від 4500 до 5100. Щільність розподілу має вигляд:

За формулою для математичного сподівання нормального закону розподілу і з даного графіку видно, що

При

Таким чином, . Приймаємо хо= 4800-10-6

Таблиця 3.3. Розрахункові дані

1

2

3

4

5

6

7

-10-6

4500-4600

4601-4700

4701-4800

4801 - 4900

4901-5000

5001-5100

M

3

5

7

7

4

4

PI

0,1

0,17

0,235

0,235

0,13

0,13

Xi' 10-6

-8,33

-5,00

-1,67

1,67

5,00

8,33

Xi 10-6

4550

4650

4750

4850

4950

5050

M-xi'10-6

-24,99

-25,00

-11,69

11,69

20,00

33,32

1

2

3

4

5

6

7

Mxi'210-12

208,17

125,00

19,52

19,52

100,00

277,56

Mxi'310-18

-1734,03

-625,00

-32,60

32,60

500,00

2312,04

Mxi'410-24

14444,46

3125,00

54,45

54,45

2500,00

19259,28

Розраховуємо початкові моменти (А1, а2, а3, а4):

;

Розраховуємо центральні моменти (m2, m3, m4),

M2 = a2 - a12 = 24,978 10-12;

M3 = a3 - 3a1A2 + 2a13 = 444,47 10-18;

M4 = a4 - 4a1A3 + 6a12A2 - 3a14 =1115,3 10-24.

Розраховуємо середнє квадратичне відхилення величини Х

- середнє квадратичне відхилення.

Дисперсія

Модою даного розподілу є величина, тобто максимальне значення розподілу.

Оскільки розподіл симетричний, то медіана

.

Так як для нормального закону, то асиметрія його також дорівнює нулю:

Ексцес нормального розподілу також дорівнює нулю:

крива щільності розподілу

Рисунок 3.2. Крива щільності розподілу

Метод максимума-мінімума

При зміні магнітної проникності, змінюється магнітна індукція В:

Визначення закону розподілу індуктивності опору розсіювання обмотки статора.

Припустимо, що в нашому розпорядженні результати спостережень над безперервною випадковою величиною.

Таблиця 3.4. Вихідні дані

N

С-10-8, Ом-м

N

С-10-8, Ом-м

N

С-10-8, Ом-м

1

12,0

11

13,0

21

14,2

2

12,2

12

13,1

22

14,4

3

12,3

13

12,8

23

14,3

4

12,5

14

13,2

24

14,5

5

12,55

15

12,9

25

14,9

6

12,1

16

13,45

26

15,2

7

12,6

17

13,5

27

15,4

8

12,12

18

14,0

28

15,6

9

12,75

19

13,7

29

16,0

10

12,9

20

14,0

30

16,8

Розділимо весь діапазон значень Х, що спостерігаються, на інтервали або "розряди" і підрахуємо кількість значень, що доводиться на кожен і-ий розряд. Це число розділимо на загальне число спостережень n і знайдемо частоту, відповідну даному розряду:

,

Де - частота розрядів;

Сума частот всіх розрядів, очевидно, повинна бути рівна одиниці.

Побудуємо таблицю, в якій приведені розряди в порядку їх розташування уздовж осі абсцис і відповідні частоти. Нехай проведено 30 спостережень значення індуктивності опору розсіювання обмотки статора. Результати вимірювань зведені в статистичний ряд.

Таблиця 3.5. Розрахункові дані

С-10-8, Ом-м

12,0

12,7

8

0,27

12,7

13,4

7

0,23

13,4

14,1

5

0,17

14,1

14,8

4

0,13

14,8

15,5

3

0,10

15,5

16,2

2

0,07

16,2

17,0

1

0,03

Побудуємо гістограму розподілу питомого опору в сталі статора

гістограма розподілу опору індуктивності розсіювання статора

Рисунок 3.3. Гістограма розподілу опору індуктивності розсіювання статора

Проведемо вирівнювання (згладжування) статистичних рядів.

З теоретичних міркувань і за зовнішнім виглядом статистичного розподілу вважатимемо, що величина с підкоряється закону розподілу Ерланга.

Розподілом Ерланга k-го порядку називається розподіл, який описує безперервну випадкову величину X, що приймає додатні значення в інтервалі (0; + ?) і представляє собою суму k незалежних випадкових величин, розподілених по одних і тих же експоненціальних законах з параметром л. Функція і щільність розподілу Ерланга k-го порядку мають вигляд:

Де л і k - позитивні параметри розподілу (л ? 0; x = 1, 2,...); x ? 0 - неперервна випадкова величина.

При k = 1 розподіл Ерланга вироджується в експоненціальний

Експоненційний розподіл залежить тільки від одного параметру, який позначається буквою л і являє собою середню кількість запитів, які поступають в систему за одиницю часу. Величина 1/ л дорівнює середньому проміжку часу, який проходить між двома послідовними запитами.

Імовірність настання наступного вимірювання визначається по формулі:

Де е - основа натурального логарифма, дорівнює 2,71828, л - значення, яке максимально повторюється (л=0,27), x - значення безперервної величини, 12-10-8 < x < 17-10-8.

Побудуємо функцію розподілу експоненціального закону:

функція розподілу опору індуктивності розсіювання статора

Рисунок 3.4. Функція розподілу опору індуктивності розсіювання статора

Щільність розподілу задається формулою:

Для даного випадку:

крива щільності розподілу питомого опору обмотки статора

Рисунок 3.5. Крива щільності розподілу питомого опору обмотки статора

Основні характеристики експоненціального розподілу:

Математичне сподівання:

Дисперсія:

Метод максимума-мінімума

При зміні питомого опору, відповідно змінюється електричний опір R в сталевій обмотці статора:

Питомий турбодетандер ний магнітний опір

;

Визначено закон розподілу магнітної проникності в сталі обмотки ротора. З теоретичних міркувань і по зовнішньому вигляду статистичного розподілу вирішено вважати, що величина Х (µ) підкоряється нормальному закону розподілу (розподіл Гауса) на відрізку від 4500-10-6 Н/А2 до 5100-10-6 Н/А2. Побудовано гістограму розподілу вхідних величин та криву щільності розподілу. Розраховано середнє квадратичне відхилення величини, дисперсію, моду та медіану. Ексцес та асиметрія для нормального розподілу дорівнює нулю. Здійснено розрахунок методом максимума-мінімума.

Для характеристики зміни випадкової величини питомого опору с, який змінюється в межах (12...17)-10-8 Ом-м обрано розподіл Ерланга, який при k = 1 вироджується в експоненціальний. Побудовано гістограму розподілу вхідних величин та криву щільності розподілу та функцію розподілу експоненціального закону. Визначено криву щільності розподілу питомого опору статорної обмотки. Здійснено розрахунок методом максимуму-мінімуму.

Похожие статьи




Визначення закону розподілу випадкової величини - Статистичне моделювання процесу функціонування асинхронного двигуна з вентильним збудженням

Предыдущая | Следующая