Теоретические сведения о модели Марковица - Практическое применение модели Марковица

Модель Марковица основана на следующих принципах. Пусть инвестор имеет сегодня (в момент времени t=0) ликвидные средства. Его плановый период составляет T. Начальное имущество расходуется полностью, а именно, на ценные бумаги (акции) типа J, цена покупки которых (zj0 ) определена. Но возвратные потоки (дивиденды плюс будущая динамика курса) нельзя надежно спрогнозировать [6]. Известно лишь распределение вероятностей (в нашем случае они равновероятны). Мы ищем оптимальный портфель акций для инвестора, не расположенного к риску, который принимает свои решения на основе математического ожидания (m) и дисперсии (d2) , т. е ориентируется на принцип m-d2.

Под доходностью и риском ценной бумаги понимается следующая величина:

Доходность. Зависящая от ситуации доходность J-й акции составляет: rjs = - z1 js / z0 j-1, отсюда мы находим ожидаемую доходность:

ценной бумаги измеряется средним квадратическим отклонением ее доходности

Риск ценной бумаги измеряется средним квадратическим отклонением ее доходности:

Для портфеля из двух ценных бумаг ожидаемая доходность равна:

Rps = w1r1s + w2r2s.

Поэтому математическое ожидание доходности портфеля можно представить в следующем виде:

Ожидаемая доходность портфеля соответствует взвешенной средней арифметической доходности содержащихся в портфеле акций.

Вычисление дисперсии описывается выражением [5]:

Дисперсия доходностей акций:

Ковариация доходности 1 с доходностью акции 2:

Если проведем соответствующие подстановки и преобразования, формула дисперсии доходности портфеля будет выглядеть следующим образом:

Эквивалентный, но для определенных аспектов весьма полезный метод записи этого уравнения можно получить, если использовать коэффициент корреляции [8]:

Коэффициент корреляции является показателем линейной зависимости двух случайных переменных друг от друга. Коэффициент корреляции более прозрачен, чем ковариация, так как его значения не могут выходить за рамки строго определенного интервала [-1,1].

Для портфеля, состоящего из более чем двух ценных бумаг, вектор доходностей ценных бумаг выглядит в общем виде:

Матрица ковариаций имеет вид:

Доходность портфеля при наступлении s-й будущей ситуации характеризуется формулой:

Отсюда математическое ожидание доходности портфеля равно:

Дисперсия доходности портфеля определяется по формуле:

Если подставить в формулу дисперсии зависящих от ситуации портфельных доходностей и их математическое ожидание, то будет иметь место следующее выражение:

При использовании ковариации

Получаем сокращенную формулу дисперсии доходности портфеля:

При этом ковариацией доходности j-й бумаги с доходностью той же бумаги является ее дисперсия:

Кроме того, верно

Таким образом, общую формулу риска портфеля, т. е. среднеквадратическое отклонение, можно записать следующим образом:

Когда в портфель включены более чем две ценные бумаги, путем изменения структуры портфеля можно варьировать риском портфеля, сохраняя неизменной его доходность. Не расположенный к риску инвестор всегда предпочитает при данной портфельной доходности портфель с меньшим риском, независимо от того, как велика его нерасположенность к риску.

Проблему минимизации можно решить, используя метод неопределенных множителей Лагранжа. Для этой цели, оставшиеся дополнительные ограничения путем преобразований надо приравнять к нулю, взвесить их, применяя множители Лагранжа, и подставить в целевую функцию. Тогда функция Лагранжа в общем виде будет выглядеть следующим образом:

Для определения процентных долей, которые минимизируют риск, необходимо приравнять производные функции Лагранжа по wj(j=1 - J), по l1 и по l2 к нулю. Таким образом, возникнет система (J+2) линейных уравнений с (J+2) неизвестными. В матричной форме записи система уравнений имеет следующую структуру:

Если мы решим эту систему уравнений для разных значений то получим структуру портфеля, минимизирующую риск [3].

Похожие статьи




Теоретические сведения о модели Марковица - Практическое применение модели Марковица

Предыдущая | Следующая