Теоретические сведения о модели Марковица - Практическое применение модели Марковица
Модель Марковица основана на следующих принципах. Пусть инвестор имеет сегодня (в момент времени t=0) ликвидные средства. Его плановый период составляет T. Начальное имущество расходуется полностью, а именно, на ценные бумаги (акции) типа J, цена покупки которых (zj0 ) определена. Но возвратные потоки (дивиденды плюс будущая динамика курса) нельзя надежно спрогнозировать [6]. Известно лишь распределение вероятностей (в нашем случае они равновероятны). Мы ищем оптимальный портфель акций для инвестора, не расположенного к риску, который принимает свои решения на основе математического ожидания (m) и дисперсии (d2) , т. е ориентируется на принцип m-d2.
Под доходностью и риском ценной бумаги понимается следующая величина:
Доходность. Зависящая от ситуации доходность J-й акции составляет: rjs = - z1 js / z0 j-1, отсюда мы находим ожидаемую доходность:
Риск ценной бумаги измеряется средним квадратическим отклонением ее доходности:
Для портфеля из двух ценных бумаг ожидаемая доходность равна:
Rps = w1r1s + w2r2s.
Поэтому математическое ожидание доходности портфеля можно представить в следующем виде:
Ожидаемая доходность портфеля соответствует взвешенной средней арифметической доходности содержащихся в портфеле акций.
Вычисление дисперсии описывается выражением [5]:
Дисперсия доходностей акций:
Ковариация доходности 1 с доходностью акции 2:
Если проведем соответствующие подстановки и преобразования, формула дисперсии доходности портфеля будет выглядеть следующим образом:
Эквивалентный, но для определенных аспектов весьма полезный метод записи этого уравнения можно получить, если использовать коэффициент корреляции [8]:
Коэффициент корреляции является показателем линейной зависимости двух случайных переменных друг от друга. Коэффициент корреляции более прозрачен, чем ковариация, так как его значения не могут выходить за рамки строго определенного интервала [-1,1].
Для портфеля, состоящего из более чем двух ценных бумаг, вектор доходностей ценных бумаг выглядит в общем виде:
Матрица ковариаций имеет вид:
Доходность портфеля при наступлении s-й будущей ситуации характеризуется формулой:
Отсюда математическое ожидание доходности портфеля равно:
Дисперсия доходности портфеля определяется по формуле:
Если подставить в формулу дисперсии зависящих от ситуации портфельных доходностей и их математическое ожидание, то будет иметь место следующее выражение:
При использовании ковариации
Получаем сокращенную формулу дисперсии доходности портфеля:
При этом ковариацией доходности j-й бумаги с доходностью той же бумаги является ее дисперсия:
Кроме того, верно
Таким образом, общую формулу риска портфеля, т. е. среднеквадратическое отклонение, можно записать следующим образом:
Когда в портфель включены более чем две ценные бумаги, путем изменения структуры портфеля можно варьировать риском портфеля, сохраняя неизменной его доходность. Не расположенный к риску инвестор всегда предпочитает при данной портфельной доходности портфель с меньшим риском, независимо от того, как велика его нерасположенность к риску.
Проблему минимизации можно решить, используя метод неопределенных множителей Лагранжа. Для этой цели, оставшиеся дополнительные ограничения путем преобразований надо приравнять к нулю, взвесить их, применяя множители Лагранжа, и подставить в целевую функцию. Тогда функция Лагранжа в общем виде будет выглядеть следующим образом:
Для определения процентных долей, которые минимизируют риск, необходимо приравнять производные функции Лагранжа по wj(j=1 - J), по l1 и по l2 к нулю. Таким образом, возникнет система (J+2) линейных уравнений с (J+2) неизвестными. В матричной форме записи система уравнений имеет следующую структуру:
Если мы решим эту систему уравнений для разных значений то получим структуру портфеля, минимизирующую риск [3].
Похожие статьи
-
Введение - Практическое применение модели Марковица
Любой человек, владеющий свободными денежными средствами, заинтересован в их рациональном использовании. Деньги могут и должны "работать". Существует...
-
Заключение - Практическое применение модели Марковица
Существенный вклад в данную теорию был сделан другим американским математиком - Дж. Тобином (Tobin J. The Theory of Portfolio Selection in F. H. Hahn and...
-
Литература - Практическое применение модели Марковица
1. Лутц Крушвиц. Инвестиционные расчеты. - СПб, 2001. 2. Брэйли Р., Майерс С. "Принципы корпоративных финансов". Пер. с англ. - М. "Олимп-бизнес". 1997г....
-
Практическое применение - Практическое применение модели Марковица
На сайтах www. RTS. ru и www. micex. ru возьмем по 35 наблюдений котировок акций компаний: ТАТНЕФТЬ, ЛУКОЙЛ, СБЕРБАНК, АЭРОФЛОТ, РАОЕЭС. Наблюдение...
-
Гомоскедастичностью называется выполняемость предпосылки о постоянстве дисперсии отклонений. Гетероскедастичностью называется невыполняемость этой самой...
-
Теоретическое обоснование модели - Построение экономических моделей
Гомоскедастичностью называется выполняемость предпосылки о постоянстве дисперсии отклонений. Гетероскедастичностью называется невыполняемость этой самой...
-
Вопросы практического применения классической модели управления запасами рассмотрены в [20, 26]. Для отработки методики практического использования этой...
-
В результате первой стадии статистического исследования (статистического наблюдения) получают статистическую информацию, представляющую собой большое...
-
Модели линейного программирования. Основные определения Еще одним классом задач экономико-математического моделирования являются задачи линейного...
-
Из перечисленного обзора типов ММ, составляющих предмет ИСО, можно выделить следующие особенности ММ ИСО [3]. - Системный подход, заставляющий...
-
Для достижения поставленной цели предприятию требуются материалы, оборудование, энергия, рабочая сила и другие ресурсы. Каждое предприятие такими...
-
Адсорбция активированный уголь Развитие теории адсорбционных сил еще не достигло такой стадии, когда по известным физико-химическим свойствам газа и...
-
Практическое применение - Йодометрия
Йодометрия является весьма универсальным методом. Йодометрически можно определять восстановители, окислители, кис-лоты и вещества, не обладающие...
-
Трудности использования стандартных моделей, разработанных в теории массового обслуживания, можно преодолеть одним из следующих способов. Во-первых,...
-
Теоретическое обоснование математического моделирования - Математические методы и модели в экономике
Коммерческая деятельность в том или ином виде сводится к решению таких задач: как распорядиться имеющимися ресурсами для достижения наибольшей выгоды или...
-
Эконометрические методы могут быть применены в моделировании, имитации и прогнозировании рыночных процессов. Достаточно широко в маркетинге используются...
-
Основные понятия теории экономико-математического моделирования Кибернетический подход к исследованию экономико-математических систем Обычно...
-
ПОНЯТИЕ ЭЛЕКТРОЛИЗА - Электролиз и его практическое применение
Электролизом называют окислительно-восстановительный процесс, протекающий на электродах при прохождении электрического тока через раствор или расплав...
-
Модели теории игр. Основные определения и термины В разных областях целенаправленной деятельности, например при разработке и эксплуатации АСУ, часто...
-
В начале пятилетнего периода работы предприятию выделена сумма в C руб. для приобретения нового оборудования. Стоимость одного комплекта оборудования...
-
Динамическое программирование Динамическое программирование -- один из разделов оптимального программирования, в котором процесс принятия решения и...
-
Математическое ожидание, дисперсия Дискретной называют случайную величину, которая принимает отдельные, изолированные возможные значения с определенными...
-
Применение эконометрического анализа в управлении - Практические аспекты эконометрического анализа
Статистические и математические модели экономических явлений и процессов определяются спецификой той или иной области экономических исследований. Так, в...
-
Исторические сведения о производной - Применение производной в решении геометрических задач
Ряд задач дифференциального счисления был решен еще в древности. Такие задачи можно найти у Евклида и у Архимеда, но само понятие производной функции...
-
Нахождение функций роста экономики региона Применив математическую модель на практике, можно узнать на сколько увеличится валовый региональный продукт,...
-
В зависимости от содержания задачи может быть два случая: когда ребра графа G единичной длины; когда ребра графа произвольной длины. Для каждого из этих...
-
Наиболее ранним способом формализации экономико-математических и ТС является представление физических явлений с помощью систем дифференциальных...
-
Применение, Биологическая роль - Краткие сведения о кобальте
Легирование кобальтом стали повышает ее жаропрочность, улучшает механические свойства. Из сплавов с применением кобальта создают обрабатывающий...
-
Структурная и приведенная формы модели - Основы эконометрики
Система совместных, одновременных уравнений (или структурная форма модели) обычно содержит эндогенные и экзогенные переменные. Эндогенные переменные -...
-
Линейный парный регрессионный анализ - Практические аспекты эконометрического анализа
Линейная парная регрессия характеризуется тем, что: 1) объясненная часть является условным математическим ожиданием MX (Y); 2) уравнение регрессии MX...
-
Классификация математических моделей - Построение и классификация математических моделей
К классификации математических моделей разные авторы подходят по-своему, положив в основу классификации различные принципы. Можно классифицировать...
-
Оценка адекватности моделей методом факторно-плоскостного пространственного проецирования
Оценка адекватности моделей методом факторно-плоскостного пространственного проецирования Современная автомобильная промышленность ставит перед...
-
Двумерная математическая модель жидкости водоема с учетом наличия на поверхности ледяной пластины
Введение В данной работе рассматривается численная модель движения в двумерных (в вертикальной плоскости) водоемах. Математическая модель основана на...
-
Применительно к предприятию КУП "СПЕЦКОММУНТРАНС" данная задача представляет собой задачу нахождения наилучшего маршрута движения автомобиля,...
-
Постановка задачи применительно для КУП "СПЕЦКОММУНТРАНС": двум погрузчикам разной мощности, это автомобили ТО 28 и ТО 49, за 23 часа нужно погрузить на...
-
Понятие многосекторной экономики Многосекторная экономика-- экономическая система, в которой на рыночной основе сосуществуют частная, государственная и...
-
Теория игр исследует оптимальные стратегии в ситуациях игрового характера. К ним относятся ситуации, связанные с выбором наивыгоднейших производственных...
-
Основные понятия и обозначения Динамическое программирование как самостоятельная дисциплина сформировалась в пятидесятых годах двадцатого века. Большой...
-
Основные понятия эконометрики Эконометрика - самостоятельная экономическая дисциплина, занимающаяся разработкой и применением статистических методов для...
-
Важным этапом изучения явлений предметов процессов является их классификация, выступающая как система соподчиненных классов объектов, используемая как...
Теоретические сведения о модели Марковица - Практическое применение модели Марковица