Содержательные и формальные модели, Содержательная классификация моделей - Экономико-математическая детерминированная модель

Практически все авторы, описывающие процесс математического моделирования, указывают, что сначала строится особая идеальная конструкция, Содержательная модель [14] . Устоявшейся терминологии здесь нет, и другие авторы называют этот идеальный объектКонцептуальная модель [15] , Умозрительная модель [16] или Предмодель [17] . При этом финальная математическая конструкция называется Формальной моделью или просто математической моделью, полученной в результате формализации данной содержательной модели (предмодели). Построение содержательной модели может производиться с помощью набора готовых идеализаций, как в механике, где идеальные пружины, твердые тела, идеальные маятники, упругие среды и т. п. дают готовые структурные элементы для содержательного моделирования. Однако в областях знания, где не существует полностью завершенных формализованных теорий (передний край физики, биологии, экономики, социологии, психологии, и большинства других областей), создание содержательных моделей резко усложняется.

Содержательная классификация моделей

В работе Р. Пайерлса (англ. R. Реiеrls) [18] дана классификация математических моделей, используемых в физике и, шире, в естественных науках. В книге А. Н. Горбаня и Р. Г. Хлебопроса [19] эта классификация проанализирована и расширена. Эта классификация сфокусирована, в первую очередь, на этапе построения содержательной модели.

Тип 1: Гипотеза (такое могло бы быть)

Эти модели "представляют собой пробное описание явления, причем автор либо верит в его возможность, либо считает даже его истинным". По Р. Пайерлсу это, например, модель Солнечной системы по Птолемею и модель Коперника (усовершенствованная Кеплером), модель атома Резерфорда и модель Большого Взрыва.

Никакая гипотеза в науке не бывает доказана раз и навсегда. Очень четко это сформулировал Ричард Фейнман:

"У нас всегда есть возможность опровергнуть теорию, но, обратите внимание, мы никогда не можем доказать, что она правильна. Предположим, что вы выдвинули удачную гипотезу, рассчитали, к чему это ведет, и выяснили, что все ее следствия подтверждаются экспериментально. Значит ли это, что ваша теория правильна? Нет, просто-напросто это значит, что вам не удалось ее опровергнуть. " [20]

Если модель первого типа построена, то это означает что она временно признается за истину и можно сконцентрироваться на других проблемах. Однако это не может быть точкой в исследованиях, но только времменной паузой: статус модели первого типа может быть только времменным.

Тип 2: Феноменологическая модель (ведем себя так, как если бы...)

Феноменологическая модель содержит механизм для описания явления. Однако этот механизм недостаточно убедителен, не может быть достаточно подтвержден имеющимися данными или плохо согласуется с имеющимися теориями и накопленным знанием об объекте. Поэтому феноменологические модели имеют статус времменных решений. Считается, что ответ все еще неизвестен и необходимо продолжить поиск "истинных механизмов". Ко второму типу Пайерлс относит, например, модели теплорода и кварковуюмодель элементарных частиц.

Роль модели в исследовании может меняться со временем, может случиться так, что новые данные и теории подтвердят феноменологические модели и те будут повышены до статуса гипотезы. Аналогично, новое знание может постепенно придти в противоречие с моделями-гипотезами первого типа и те могут быть переведены во второй. Так, кварковая модель постепенно переходит в разряд гипотез; атомизм в физике возник как временное решение, но с ходом истории перешел в первый тип. А вот модели эфира, проделали путь от типа 1 к типу 2, а сейчас находятся вне науки.

Идея упрощения очень популярна при построении моделей. Но упрощение бывает разным. Пайерлс выделяет три типа упрощений в моделировании.

Тип 3: Приближение (что-то считаем очень большим или очень малым)

Если можно построить уравнения, описывающие исследуемую систему, то это не значит, что их можно решить даже с помощью компьютера. Общепринятый прием в этом случае - использование приближений (моделей типа 3). Среди них Модели линейного отклика. Уравнения заменяются линейными. Стандартный пример - закон Ома.

Если мы используем модель идеального газа для описания достаточно разреженных газов, то это - модель типа 3 (приближение). При более высоких плотностях газа тоже полезно представлять себе более простую ситуацию с идеальным газом для качественного понимания и оценок, но тогда это уже тип 4.

Тип 4: Упрощение (опустим для ясности некоторые детали)

В модели типа 4 отбрасываются детали, которые могут заметно и не всегда контролируемо повлиять на результат. Одни и те же уравнения могут служить моделью типа 3 (приближение) или 4 (опустим для ясности некоторые детали) - это зависит от явления, для изучения которого используется модель. Так, если модели линейного отклика применяются при отсутствии более сложных моделей (то есть не производится линеаризация нелинейных уравнений, а просто ищутся линейные уравнения, описывающие объект), то это уже Феноменологические линейные модели, и относятся они к следующему типу 4 (все нелинейные детали "для ясности" опускаем).

Примеры: применение модели идеального газа к неидеальному, уравнение состояния Ван-дер-Ваальса, большинство моделей физики твердого тела, жидкостей и ядерной физики. Путь от микроописания к свойствам тел (или сред), состоящих из большого числа частиц, очень длинен. Приходится отбрасывать многие детали. Это приводит к моделям 4-го типа.

Тип 5: Эвристическая модель (количественного подтверждения нет, но модель способствует более глубокому проникновению в суть дела)

Эвристическая модель сохраняет лишь качественное подобие реальности и дает предсказания только "по порядку величины". Типичный пример - приближение средней длины свободного пробега в кинетической теории. Оно дает простые формулы для коэффициентов вязкости, диффузии, теплопроводности, согласующиеся с реальностью по порядку величины.

Но при построении новой физики далеко не сразу получается модель, дающая хотя бы качественное описание объекта - модель пятого типа. В этом случае часто используют Модель по аналогии, отражающую действительность хоть в какой-нибудь черте.

Тип 6: Аналогия (учтем только некоторые особенности)

Р. Пайерлс приводит историю использования аналогий в первой статье В. Гейзенберга о природе ядерных сил. "Это произошло после открытия нейтрона, и хотя сам В. Гейзенберг понимал, что можно описывать ядра состоящими из нейтронов и протонов, он не мог все же избавиться от мысли, что нейтрон должен в конечном счете состоять из протона и электрона. При этом возникала аналогия между взаимодействием в системе нейтрон - протон и взаимодействием атома водорода и протоном. Эта-то аналогия и привела его к заключению, что должны существовать обменные силы взаимодействия между нейтроном и протоном, которые аналогичны обменным силам в системе H ? H +, обусловленным переходом электрона между двумя протонами. ... Позднее было все-таки доказано существование обменных сил взаимодействия между нейтроном и протоном, хотя ими не исчерпывалось полностью взаимодействие между двумя частицами... Но, следуя все той же аналогии, В. Гейзенберг пришел к заключению об отсутствии ядерных сил взаимодействия между двумя протонами и к постулированию отталкивания между двумя нейтронами. Оба последних вывода находятся в противоречии с данными более поздних исследований".

Тип 7: Мысленный эксперимент (главное состоит в опровержении возможности)

А. Эйнштейн был одним из великих мастеров мысленного эксперимента. Вот один из его экспериментов. Он был придуман в юности и, в конце концов, привел к построению специальной теории относительности. Предположим, что в классической физике мы движемся за световой волной со скоростью света. Мы будем наблюдать периодически меняющееся в пространстве и постоянное во времени электромагнитное поле. Согласно уравнениям Максвелла, этого быть не может. Отсюда юный Эйнштейн заключил: либо законы природы меняются при смене системы отсчета, либо скорость света не зависит от системы отсчета. Он выбрал второй - более красивый вариант. Другой знаменитый мысленный эксперимент Эйнштейна - Парадокс Эйнштейна - Подольского - Розена.

А вот и тип 8, широко распространенный в математических моделях биологических систем.

Тип 8: Демонстрация возможности (главное - показать внутреннюю непротиворечивость возможности)

Это тоже мысленные эксперименты с воображаемыми сущностями, демонстрирующие, что Предполагаемое явление согласуется с базовыми принципам и внутренне непротиворечиво. В этом основное отличие от моделей типа 7, которые вскрывают скрытые противоречия.

Один из самых знаменитых таких экспериментов - геометрия Лобачевского (Лобачевский называл ее "воображаемой геометрией"). Другой пример - массовое производство формально - кинетических моделей химических и биологических колебаний, автоволн и др. Парадокс Эйнштейна - Подольского - Розена был задуман как модель 7 типа, для демонстрации противоречивости квантовой механики. Совершенно незапланированным образом он со временем превратился в модель 8 типа - демонстрацию возможности квантовой телепортации информации.

В основе содержательной классификации - этапы, предшествующие математическому анализу и вычислениям. Восемь типов моделей по Р. Пайерлсу суть восемь типов исследовательских позиций при моделировании.

Пример.

Рассмотрим механическую систему, состоящую из пружины, закрепленной с одного конца, и груза массой M, прикрепленного к свободному концу пружины. Будем считать, что груз может двигаться только в направлении оси пружины (например, движение происходит вдоль стержня). Построим математическую модель этой системы. Будем описывать состояние системы расстоянием X от центра груза до его положения равновесия. Опишем взаимодействие пружины и груза с помощью Закона Гука (F = ? Kx) после чего воспользуемся вторым законом Ньютона, чтобы выразить его в форме дифференциального уравнения:

Где означает вторую производную от X по времени:

.

Полученное уравнение описывает математическую модель рассмотренной физической системы. Эта модель называется "гармоническим осциллятором".

По формальной классификации эта модель линейная, детерминисткая, динамическая, сосредоточенная, непрерывная. В процессе ее построения мы сделали множество допущений (об отсутствии внешних сил, отсутствии трения, малости отклонений и т. д.), которые в реальности могут не выполняться.

По отношению к реальности это, чаще всего, модель типа 4 Упрощение ("опустим для ясности некоторые детали"), поскольку опущены некоторые существенные универсальные особенности (например, диссипация). В некотором приближении (скажем, пока отклонение груза от равновесия невелико, при малом трении, в течение не слишком большого времени и при соблюдении некоторых других условий), такая модель достаточно хорошо описывает реальную механическую систему, поскольку отброшенные факторы оказывают пренебрежимо малое влияние на ее поведение. Однако модель можно уточнить, приняв во внимание какие-то из этих факторов. Это приведет к новой модели, с более широкой (хотя и снова ограниченной) областью применимости.

Впрочем, при уточнении модели сложность ее математического исследования может существенно возрасти и сделать модель фактически бесполезной. Зачастую более простая модель позволяет лучше и глубже исследовать реальную систему, чем более сложная (и, формально, "более правильная").

Если применять модель гармонического осциллятора к объектам, далеким от физики, ее содержательный статус может быть другим. Например, при приложении этой модели к биологическим популяциям, ее следует отнести, скорее всего, к типу 6 Аналогия ("учтем только некоторые особенности").

Похожие статьи




Содержательные и формальные модели, Содержательная классификация моделей - Экономико-математическая детерминированная модель

Предыдущая | Следующая