Оптимальный план - Модели оптимального плана управления запасами

Найдем наилучший план поставок. План, для которого в моменты доставок очередных партий запас равен 0 (т. е. y(t) = 0), назовем напряженным.

Утверждение 1. Для любого плана поставок, не являющегося напряженным, можно указать напряженный план, для которого средние издержки меньше.

Покажем, как можно от произвольного плана перейти к напряженному плану, уменьшив при этом издержки. Пусть с течением времени при приближении к моменту t1 прихода поставки Q1 уровень запаса не стремится к 0, а лишь уменьшается до положительного значения y(t1-) (где знак "минус" означает предел слева функции y(t) в точке t1). Тогда рассмотрим новый план поставок с теми же моментами поставок и их величинами, за исключением величин поставок в моменты t = 0 и t = t1. А именно, заменим Q0 на Q01 = Q0 - y(t1-), а Q1 на Q11 = Q0 + y(t1-). Тогда график уровня запаса на складе параллельно сдвинется вниз на интервале (0; t1), достигнув 0 в t1, и не изменится правее точки t1. Следовательно, издержки по доставке партий не изменятся, а издержки по хранению уменьшатся на величину, пропорциональную (с коэффициентом пропорциональности s) площади параллелограмма, образованного прежним и новым положениями графика уровня запаса на интервале (0; t1) (см. рис.2).

Итак, в результате первого шага перехода получен план, в котором крайний слева зубец достигает оси абсцисс. Следующий шаг проводится аналогично, только момент времени t = 0 заменяется на t = t1. Если есть такая возможность, второе наклонное звено графика уровня запаса на складе параллельно сдвигается вниз, достигая в крайней правой точке t2 оси абсцисс.

Аналогично поступаем со всеми остальными зубцами, двигаясь слева направо. В результате получаем напряженный план. На каждом шагу издержки по хранению либо сокращались, либо оставались прежними (если соответствующее звено графика не опускалось вниз). Следовательно, для полученного в результате описанного преобразования напряженного плана издержки по хранению меньше, чем для исходного плана, либо равны (если исходный план уже являлся напряженным).

Из утверждения 1 следует, что оптимальный план следует искать только среди напряженных планов. Другими словами, план, не являющийся напряженным, не может быть оптимальным.

Утверждение 2. Среди напряженных планов с фиксированным числом поставок минимальные издержки имеет тот, в котором все интервалы между поставками равны.

При фиксированном числе поставок затраты на доставку партий не меняются. Следовательно, достаточно минимизировать затраты на хранение.

Для напряженных планов размеры поставок однозначно определяются с помощью интервалов между поставками:

Действительно, очередная поставка величиной Qi-1 совпадает с размером запаса на складе в момент ti-1, расходуется с интенсивностью м единиц товара в одну единицу времени и полностью исчерпывается к моменту ti прихода следующей поставки.

Для напряженного плана издержки по хранению равны

Где Дi = ti - ti-1, i = 1, 2,..., n(T), tn(T) = T. Ясно, что Дi, i = 1, 2,..., n(T), - произвольные неотрицательные числа, в сумме составляющие Т. Следовательно, для минимизации издержек среди напряженных планов с фиксированным числом поставок достаточно решить задачу оптимизации

Где n = n(T).

Полученная задача оптимизации формально никак не связана с логистикой, она является чисто математической. Для ее решения целесообразно ввести новые переменные бi = Дi - T/n, i = 1, 2,..., n. Тогда

Поскольку Дi = T/n + бi, то

Следовательно, с учетом предыдущего равенства имеем

Сумма квадратов всегда неотрицательна. Она достигает минимума, равного 0, когда все переменные равны 0, т. е. при б1 = б2 =... = бn = 0. Тогда

При этих значениях Дi выполнены все ограничения оптимизационной задачи. Итак, утверждение 2 доказано.

Для плана с равными интервалами между поставками все партии товара имеют одинаковый объем. Для такого плана издержки по хранению равны

Средние издержки (на единицу времени) таковы:

Итак, минимизация средних издержек - это задача дискретной оптимизации. На третьем этапе построения оптимального плана необходимо найти натуральное число n(T) - самое выгодное число поставок.

Поскольку к моменту Т запас товара должен быть израсходован, то общий объем поставок за время T должен совпадать с общим объемом спроса, следовательно, равняться мТ. Справедливо балансовое соотношение (аналог закона Ломоносова-Лавуазье сохранения массы при химических реакциях):

Из балансового соотношения следует, что

Средние издержки (на единицу времени) можно выразить как функцию размера партии Q:

(1)

Задача состоит в минимизации f1(Q) по Q. При этом возможная величина поставки принимает дискретные значения, поскольку

Изучим функцию f1(Q), определенную при Q > 0. При приближении к 0 она ведет себя как гипербола, при росте аргумента - как линейная функция. Производная имеет вид

(2)

Производная монотонно возрастает, поэтому рассматриваемая функция имеет единственный минимум в точке, в которой производная равна 0, т. е. при

(3)

Получена знаменитая в теории управления запасами "формула квадратного корня".

В литературе иногда без всяких комментариев рекомендуют использовать напряженный план, в котором размеры всех поставляемых партий равны Q0. К сожалению, получаемый таким путем план почти всегда не является оптимальным, т. е. популярная рекомендация неверна или не вполне корректна. Дело в том, что почти всегда

Как же найти оптимальный план? Всегда можно указать неотрицательное целое число n такое, что

(4)

Утверждение 3. Решением задачи оптимизации

Является либо Q1, либо Q2.

Действительно, из всех возможных объемов партии

Часть лежит правее Q0, из них наименьшим является Q2, а часть лежит левее Q0, из них наибольшим является Q1. Для построения оптимального плана обратим внимание на то, что производная (2) отрицательна левее Q0 и положительна правее Q0, следовательно, функция средних издержек f1(Q) убывает левее Q0 и возрастает правее Q0. Значит, минимум по

Достигается при Q = Q2, а минимум по

- при Q = Q1 Последнее утверждение эквивалентно заключению утверждения 3.

Итак, алгоритм построения оптимального плана таков.

    1. Найти Q0 по формуле квадратного корня (3). 2. Найти n из условия (4). 3. Рассчитать f1(Q) по формуле (1) для Q = Q1 и Q = Q2, где Q1 и Q2 определены соотношением (4). 4. Наименьшее из двух чисел f1(Q1) и f1(Q2) является искомым минимумом, а то из Q1 и Q2, на котором достигается минимум - решением задачи оптимизации. Обозначим его Qopt.

Итак, оптимальный план поставки - это напряженный план, в котором объемы всех поставок равны Qopt.

Замечание. Если f1(Q1) = f1(Q2), то решение задачи оптимизации состоит из двух точек Q1 и Q2. В этом частном случае существует два оптимальных плана.

Пример 1. На складе хранится некоторая продукция, пользующаяся равномерным спросом. За 1 день со склада извлекается 5 т продукции. Плата за хранение 1 т. продукции в день - 50 руб. Плата на доставку одной партии - 980 руб. Горизонт планирования - 10 дней. Найти оптимальный план поставок.

В рассматриваемом случае м = 5 (т/день), s = 50 (руб./т. день), g = 980 (руб./партия), Т = 10 (дней). По формуле (3) рассчитываем

Множество допустимых значений для Q имеет вид

Следовательно, Q1 = 12,5 и Q2 = 16,67. Первое значение определяет напряженный план с четырьмя одинаковыми зубцами, а второе - с тремя. Поскольку

То

Поскольку f1(Q1) < f1(Q2), то Qopt = Q1 = 12,5. Итак, оптимальным является напряженный план с четырьмя зубцами.

Как уже отмечалось, часто рекомендуют применять план поставок с Q=Q0. Каков при этом проигрыш по сравнению с оптимальным планом?

Для плана с Q=Q0 интервал между поставками составляет Q0/м = 14/5 = 2,8 дня. Следовательно, партии придут в моменты t0 = 0; t1= 2,8; t2 = 5,6; t3 = 8,4. Следующая партия должна была бы придти уже за пределами горизонта планирования Т =10, в момент t4 = 11,2. Таким образом, график уровня запаса на складе в пределах горизонта планирования состоит из трех полных зубцов и одного не полного. К моменту Т =10 пройдет 10 - 8,4 = 1,6 дня с момента последней поставки, значит, со склада будет извлечено 5Ч1,6 = 8 т продукции и останется 14 - 8 = 6 т. План с Q=Q0 не является напряженным, а потому не является оптимальным для горизонта планирования Т =10.

Подсчитаем общие издержки в плане с Q=Q0. Площадь под графиком уровня запаса на складе равна сумме площадей трех треугольников и трапеции. Площадь треугольника равна (14Ч2,8)/2 = 19,6, трех треугольников - 58,8. Основания трапеции параллельны оси ординат и равны значениям уровня запаса в моменты времени t3 = 8,4 и Т =10, т. е. величинам 14 и 6 соответственно. Высота трапеции лежит на оси абсцисс и равна 10 - 8,4 = 1,6, а потому площадь трапеции есть [(14+6)Ч1,6]/2 = 16. Следовательно, площадь под графиком равна 58,8 + 16 = 74,8, а плата за хранение составляет 50Ч74,8 = 3740 руб.

За 10 дней доставлены 4 партии товара (в моменты t0 = 0; t1= 2,8; t2 = 5,6; t3 = 8,4). Следовательно, затраты на доставку равны 4Ч980 = 3920 руб. Общие издержки за 10 дней составляют 3740 + 3920 = 7660 руб., а средние издержки - 766 руб. Они больше средних издержек в оптимальном плане в 766/704,5 = 1,087 раза, т. е. на 8,7%.

Отметим, что

Т. е. меньше, чем в оптимальном плане. Таким образом, из-за дискретности множества допустимых значений средние издержки возросли на 4,5 руб., т. e. на 0,64%.

При этом оптимальный размер партии (12,5 т) отличается от Q0 = 14 т на 1,5 т, т. е. Qopt/Q0 = 0,89 - различие на 11%. Достаточно большое различие объемов поставок привело к пренебрежимо малому изменению функции f1(Q). Это объясняется тем, что в точке Q0 функция f1(Q) достигает минимума, а потому ее производная в этой точке равна 0.

Оба слагаемых в f1(Q0) равны между собой. Случайно ли это? Покажем, что нет. Действительно,

Таким образом, составляющие средних издержек, порожденные различными причинами, уравниваются между собой.

Средние издержки в плане с Q=Q0 равны. Интервал между поставками при этом равен

.

Издержки в течение одного интервала между поставками таковы:

,

При этом половина (т. е. g) приходится на оплату доставки партии, а половина - на хранение товара.

Итак, план Вильсона хуже оптимального плана. Однако оказывается, что при росте интервала планирования отношение средних издержек в этих двух планах приближается к 1.

Похожие статьи




Оптимальный план - Модели оптимального плана управления запасами

Предыдущая | Следующая