Модели скользящего среднего порядка q (МА(q)-модели) - Динамические ряды

Рассмотрим частный случай общего линейного процесса (2.13), когда только первые q из весовых коэффициентов J ненулевые. В это случае процесс имеет вид

T = T 1t1 2t2 ... Qtq, (2.26)

Где символы 1,..., Q используются для обозначения конечного набора параметров, участвующих в (2.13). Процесс (2.26) называется моделью скользящего среднего порядка q (МА(q)).

Двойственность в представлении AR - и МА-моделей и понятие обратимости МА-модели. Из (2.13) и (2.14) видно, что один и тот же общий линейный процесс может быть представлен либо в виде AR-модели бесконечного порядка, либо в виде МА-модели бесконечного порядка.

Соотношение (2.26) может быть переписано в виде

T =T + 1t1 + 2t2 +...+ Qtq.

Откуда

T = T 1t1 2t2 ..., (2.27)

Где коэффициенты J (j = 1, 2,...) определенным образом выражаются через параметры 1,..., Q. Соотношение (2.27) может быть записано в виде модели авторегрессии бесконечного порядка (т. е. в виде обращенного разложения) [20]

Известно (см., например, [Бокс, Дженкинс, (1974)]), что условие обратимости МА(q)-модели (т. е. условие сходимости ряда ) формулируется в терминах характеристического уравнения модели (2.26) следующим образом:

Все корни характеристического уравнения должны лежать вне единичного круга, т. е. |zJ| > 1 для всех j = 1, 2,..., q.

Основные характеристики процесса МА(q). Справедливо следующее выражение для ковариаций:

(2.28)

Автокорреляционная функция процесса МА(q) получается непосредственно из (2.28):

(2.29)

Таким образом, автокорреляционная функция r() процесса МА(q) равна нулю для всех значений, больших порядка процесса q. Это важное свойство используется при подборе порядка МА(q)-модели по экспериментальным данным [1];

Спектральная плотность процесса МА(q) может быть вычислена с помощью соотношения:

Идентификация модели МА(q) производится на базе соотношений (2.29), а именно: 1) по значениям с помощью формулы

Подсчитываются значения ; 2) в соотношения (2.29) последовательно подставляются значения = 1,..., q с заменой в левой их части величин r() полученными ранее оценками ; 3) полученная таким образом система из q уравнений разрешается относительно неизвестных значений 1,..., Q; решения этой системы и дадут оценки неизвестных параметров модели; 4) оценка параметра может быть получена с помощью первого из соотношений (2.28) подстановкой в него вместо (0), 1,..., Q их оценок.

Заметим, что в отличие от системы уравнений ЮлаУокера (2.25), уравнения для определения оценок параметров МА(q)-модели нелинейны. Поэтому эти уравнения приходится решать с помощью итерационных процедур см., например, Бокс, Дженкинс (1974).

Взаимосвязь процессов AR(q) и МА(q). Сделаем ряд замечаний о взаимосвязях между процессами авторегрессии и скользящего среднего.

Для конечного процесса авторегрессии порядка p T может быть представлено как конечная взвешенная сумма предшествующих, или T может быть представлено как бесконечная сумма предшествующих. В то же время, в конечном процессе скользящего среднего порядка q T может быть представлено как конечная взвешенная сумма предшествующих или T как бесконечная взвешенная сумма предшествующих.

Конечный процесс МА имеет автокорреляционную функцию, обращающуюся в нуль после некоторой точки, но так как он эквивалентен бесконечному процессу AR, его частная автокорреляционная функция бесконечно протяженная. Главную роль в ней играют затухающие экспоненты и (или) затухающие синусоиды. И наоборот, процесс AR имеет частную автокорреляционную функцию, обращающуюся в нуль после некоторой точки, но его автокорреляционная функция имеет бесконечную протяженность и состоит из совокупности затухающих экспонент и или затухающих синусоид.

Параметры процесса авторегрессии конечного порядка не должны удовлетворять каким-нибудь условиям для того, чтобы процесс был стационарным. Однако для того чтобы процесс МА был обратимым, корни его характеристического уравнения должны лежать вне единичного круга.

Спектр процесса скользящего среднего является обратным к спектру соответствующего процесса авторегрессии [18].

Похожие статьи




Модели скользящего среднего порядка q (МА(q)-модели) - Динамические ряды

Предыдущая | Следующая