Итоговое мнение комиссии экспертов - Задача исследования итогового ранжирования мнений группы экспертов с помощью медианы кемени

Разработаны разные способы поиска итогового ранжирования мнений группы экспертов, например Метод средних арифметических рангов, В котором каждому объекту присваивается числовой ранг каждым экспертом и рассчитывается сумма рангов по каждому проекту. Затем эта сумма делится на число экспертов, в результате получается средний арифметический ранг (именно эта операция дала название методу) По средним рангам строится итоговая ранжировка. Другим примером является Метод медиан рангов, Где упорядочивание строится по медиане присвоенных рангов, а не по среднему арифметическому. По эти двум ранжировкам с помощью специально разработанного алгоритма строят согласующую ранжировку [2, 4].

Обсудим условный пример. Пусть рассматриваются 20 альтернатив. Их ранжирования (упорядочения), соответствующие мнению 10 экспертов P1, P2, ..., P10, например, таковы (табл.1).

Таблица 1. Ранжирования экспертов

Ранг альтернативы

Эксперты

P1

P2

P3

P4

P5

P10

1

A2

A2

A1

A3

A4

A9

2

A1

A1

A3

A1

A1

A1

3

A3

A3

A4

A4

A3

A3

4

A4

A4

A5

A5

A5

A4

19

A19

A19

A20

A20

A20

A20

20

A20

A20

A2

A2

A2

A2

Рассмотрим задачу определения наилучшей альтернативы, исходя из коллективного мнения экспертов. Для решения этой задачи есть несколько подходов.

По правилу большинства подсчитывается число экспертов, отдавших предпочтений каждой из альтернатив. Наилучшей объявляется альтернатива, которую назвали лучшей большинство экспертов. В данном случае, это альтернатива. Однако, вряд ли такое ранжирование можно назвать справедливым.

Кондорсе предложил следующий способ определения наилучшей альтернативы (см., например, [11]). Каждый эксперт ранжирует альтернативы по предпочтениям. На основании полученных ранжирований для каждой пары альтернатив подсчитывается - число экспертов, считающих более предпочтительней, чем. Если, то признается более предпочтительной, чем. Альтернатива объявляется наилучшей альтернативой (альтернативой Кондорсе), если эта альтернатива признана более предпочтительной, чем любая из остальных. В данном примере (табл.1) такой альтернативой Кондорсе будет являться. Однако при использовании принципа Кондорсе может возникать указанный им же парадокс, являющийся следствием нетранзитивности коллективных предпочтений. Пусть три эксперта проранжировали альтернативы следующим образом: A1 > A2 > A3, A3 > A1 > A2, A2 > A3 > A1. Тогда, , но. Альтернативы Кондорсе в этом случае не существует.

Вычисление средних величин для тех или иных совокупностей данных - основная статистическая процедура. В центре теории вероятностей и математической статистики находятся Законы больших чисел: эмпирические средние сходятся к теоретическим. В классическом варианте: выборочное среднее арифметическое при определенных условиях сходится по вероятности при росте числа слагаемых к математическому ожиданию.

Развитие математического инструментария решения прикладных задач, прежде всего в экспертных технологиях и социологии, привело к необходимости использования средних значений в пространствах нечисловой природы [12, 13]. Сначала в качестве средних значений бинарных отношений применяли медианы Кемени. Затем оптимизационный подход к построению средних величин стал стержнем нечисловой статистики - новой области прикладной математической статистики [14, 15].

В книге Дж. Кемени и Дж. Снелла [6] (на основе более ранней статьи Кемени [16]) в качестве итогового мнения комиссии экспертов предложено применять "медиану Кемени", т. е. результат минимизации суммы расстояний Кемени от мнений экспертов до произвольного бинарного отношения X.

Расстоянием Кемени между бинарными отношениями А и В, описываемыми матрицами || AIj || и || BIj || соответственно, называется число

D(A, B) = ,

Где суммирование производится по всем I, j от 1 до K. Расстояние Кемени - это число несовпадающих элементов в матрицах || AIj || и || BIj ||.

С помощью расстояния Кемени находят итоговое мнение комиссии экспертов. Пусть N ответы экспертов представлены как упорядочения (кластеризованные ранжировки) A(1), A(2), ..., A(N), или как бинарные отношения других типов (отношения эквивалентности, толерантности и др.). Для их усреднения используют т. н. Медиану Кемени

Argmin.

Медиана Кемени используется для описания усреднения ответов экспертов, представленных в виде бинарных отношений из рассматриваемого класса бинарных отношений.

Согласно [17] медиана Кемени является кондорсетовым ранжированием, так как если существует наилучшая альтернатива Кондорсе, то она всегда будет ранжироваться наиболее высоко. Медиана Кемени также удовлетворяет большинству критериев Эрроу [17]:

    1) универсальность множества допустимых отношений - для любой тройки альтернатив должны найтись отношения такие, что первое связывает все три альтернативы попарно, второе и третье только первые две альтернативы и требование транзитивности результирующего отношения. 2) условие монотонности - если какой-то эксперт изменил свое мнение в пользу результирующего отношения, то оно от этого не изменится. 3) ненавязанность - для любой пары альтернатив существуют множества отношений, такие, что для первого множества пара альтернатив принадлежит оптимальному решению, а для второго нет. 4) отсутствие диктатора - нет эксперта, мнение которого определяет решение независимо от остальных экспертов.

Из сказанного выше можно заключить, что медиану Кемени можно считать одним из наиболее корректных результирующих ранжирований.

Похожие статьи




Итоговое мнение комиссии экспертов - Задача исследования итогового ранжирования мнений группы экспертов с помощью медианы кемени

Предыдущая | Следующая