Исследование систем массового обслуживания с ожиданием
Исследование систем массового обслуживания с ожиданием
1. Краткие теоретические сведения
Системы массового обслуживания с ожиданием распространены наиболее широко. Их можно разбить на две большие группы: разомкнутые и замкнутые. К замкнутым относятся системы, в которых поступающий поток требований ограничен. В разомкнутых системах поступающий поток требований не ограничен.
СМО с n-каналами обслуживает простейший поток требований. При занятости всех n - узлов обслуживания поступившее требование ставится в очередь и обслуживается после некоторого ожидания. Общее число требований, находящихся в системе на обслуживании и в очереди, обозначим k и назовем состояниям системы. При k= величина k характеризует число занятых каналов в системе, при k= число занятых каналов равно n, а разность k-n определяет длину очереди. Параметр интенсивности обслуживания потока определяется числом занятых узлов ().
Введем понятие загрузки системы p, равное отношению интенсивности входящего потока к интенсивности обслуживания.
Отметим, что при загрузке системы, равной или больше числа узлов обслуживания системы n, с вероятностью, равной 1, постоянно будут заняты все узлы обслуживания, и длина очереди будет бесконечной - явление "взрыва". Поэтому, чтобы система могла функционировать нормально и очередь не росла безгранично, необходимо выполнить условие p<1.
При ограниченной очереди k=, где m - заданная максимально допустимая длина очереди (емкость накопителя).
Динамика состояний системы с ограниченной длиной очереди описывается системой ОДУ Колмогорова для вероятностей состояний.
Массовый обслуживание ожидание дифференциальный
При дисциплинирующем условии
И начальных условиях
Решение бесконечной системы алгебраических уравнений для стационарных вероятностей состояний СМО с ожиданием и бесконечной очередью определяется вторым распределением Эрланга
P0 =
К основным показателям качества обслуживания рассматриваемой СМО относятся:
- -вероятность наличия очереди (вероятность того, что число требований в системе больше числа узлов) -вероятность занятости всех узлов системы -среднее число требований в системе
МТр =P0 (
-средняя длина очереди
MОч =
-среднее число свободных узлов
МСв =
- - среднее число занятых узлов -среднее время ожидания начала обслуживания
T Ож =
-общее время, которое проводят в очереди все требования, поступившие в систему за единицу времени
TОж =
-среднее время, которое требование проводит в системе обслуживания
ТТр = ТОж +
-среднее время, которое в среднем проводят в системе все требования, поступившие за единицу времени
ТСтр = ТОжид +
2. Порядок выполнения работы
Построить размеченный граф состояний СМО с ограниченной длиной очереди.
Записать систему обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ) Колмогорова для вероятностей состояний системы.
Составить программу на ЭВМ интегрирования ОДУ, вычисления вероятностей состояний в установившемся режиме и показателей качества функционирования СМО.
Провести вычислительный эксперимент, в котором:
- - исследовать динамику вероятностей состояния и показателей качества СМО; - оценить время переходных процессов в системе; - вычислить вероятности состояний и показатели качества функционирования системы в установившемся режиме
Сформулировать выводы по работе.
Текст задания
На железнодорожной станции имеются 5 путей для обслуживания прибывающих железнодорожных составов. Интенсивность прибытия железнодорожных составов равна 15 составов час. Среднее время обслуживая одного состава 20 мин.
Система обыкновенных дифференциальных уравнения Колмогорова.
M=4;
µ=3
Н=5*3=15
С=л/н =5
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 | |
PЭр |
0.2953 |
0,3691 |
0,2307 |
0,0769 |
0,0769 |
0,0154 |
0,0031 |
0,0031 |
0,0031 |
P |
0,0100 |
0,8500 |
0,1500 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
Вероятность наличия очереди 0.3076062640
Вероятность занятости всех узлов системы 0.6152125280
Среднее число требований в системе 2.1667016219
Средняя длина очереди 0.8202833706
Среднее число свободных узлов 1.2919463087
Среднее число занятых узлов 0.7080536913
Среднее время ожидания начала обслуживания 0.1367138951
Program Lab1;
{$APPTYPE CONSOLE}
Type
Vector=array[1..11] of real;
Massiv=array[1..11] of vector;
Fft=string[20];
Ffs=TextFile;
Ft=array[1..7] of ffs;
Const m=4;
Var
P, p1:vector;
T, lam, mu, Po, Ps, suma:real;
Qq:real;
Kkk, xx, xx1:integer;
Yy, yy1:array[1..7] of integer;
R, Reg, Grm, j,i, n,k, l,lll:integer;
Kbp1,ush, pot, rr, Kbp, Kbg, Kbg1,Kbgg, Kbpp, s,h, a,b:real;
Y, y1,y2:vector;
Trem, Tpodg, Tpol, Nar, Npvo, LamV, Prem, Pbp:real;
Toj:real;
//AA, lam:massiv;
St:string[2];
Stt:string[6];
Stt1:string[6];
F, f1,f2,f3:textFile;
Fn2,fn1,fn, fn3:string[20];
Ff1,ff2,ff3,ff4,ff5,ff6,ff7:text;
Ffn:array[1..7] of fft;
Procedure lv(x: real; n: integer; a: vector; var b: vector);
Var i: integer;
Begin
For i:=1 to N do b[i]:=0.0; for i:=1 to n do b[i]:=x*a[i];
End;
Procedure sv(n:integer; a, b: vector; var c: vector);
Var i, j: integer;
Begin
For i:=1 to n do c[i]:=0.0; for i:=1 to n do c[i]:=a[i]+b[i];
End;
Procedure tm(n, m: integer; a:massiv; var b:massiv);
Var i, j: integer;
Begin
For i:=1 to n do for j:=1 to m do b[i, j]:=0.0;
For i:=1 to n do for j:=1 to n do b[i, j]:=a[j, i];
End;
Procedure pmv(n, k: integer; a: massiv; b: vector; var c: vector);
Var i, j: integer;
Begin
For i:=1 to n do c[i]:=0.0;
For i:=1 to n do for j:=1 to n do c[i]:=c[i] +a[i, j]*b[j];
End;
Procedure fpr1(n: integer; p: vector; var pp: vector); //n=2; m=4; k=3,6/ begin number with 1;7
Begin
//pmv(n, n,lam, p,pp);
Pp[1]:=-lam * P[1] + mu* P[2];
Pp[2]:= lam * P[1] - (lam + mu)*P[2] + 2* mu* P[3];
Pp[3]:= lam * P[2] - (lam + 2* mu) * P[3] + 2* mu* P[4];
Pp[4]:= lam * P[3] - (lam + 2* mu) * P[4] + 2* mu*P[5];
Pp[5]:= lam * P[4] - (lam + 2* mu) * P[5] + 2* mu*P[6];
Pp[6]:= lam * P[5] - (lam + 2* mu) * P[6] + 2* mu*P[7];
Pp[7]:= lam * P[6] - (lam + 2* mu) * P[7] + 2* mu*P[8];
Pp[8]:= lam * P[7] - 2*mu*P[8];
End;
Procedure euler(n: integer; h: real; p:vector; var p1: vector);
Var k, k1,k2,k3,k4,pp: vector;
I, j: integer; s: real;
Begin
Fpr1(n, p,pp);
For i:=1 to 8 do
Begin
P1[i]:=p[i]+pp[i]*h;
End;
End;
Function step(a:Real;k:Integer):Real;
Var i:Integer;
Begin
If k=0 then step:=1;
If k=1 then step:=a;
If k>1 then for i:=1 to k-1 do step:=a*a;
End;
Function fact(a:Integer):Integer;
Var i, t:Integer;
Begin
T:=1;
If a>0 then for i:=1 to a do t:= i*t;
Fact:=t;
End;
Function sum(a:Real;k:Integer):Real;
Var i:Integer; s:Real;
Begin
For i:=0 to k do
S:=s+step(a, i)/fact(i);
Sum:=s;
End;
{********************************************************************************************************}
Begin {main}
Fn1:='rezult. txt';
AssignFile(ff1,fn1); rewrite(ff1);
N:=4;
Lam:=15;
Mu:=3;
P[1]:=1.0;
For i:=2 to 7 do
P[i]:=0.0;
//eioaa? e?iaaiea
T:=0.0;
H:=0.01;
Writeln(ff1,'__________________________________________');
For i:=1 to 1000 do
Begin
T:=t+h;
Euler(n+m+1,h, p,p1);
P:=p1;
//if (t>0.9) then
Writeln(ff1,t:10:8,' ',p1[1]:10:8,' ',p1[2]:10:8,' ',p1[3]:10:8,' ',p1[4]:10:8,' ',p1[5]:10:8,' ',
P1[6]:10:8,' ',p1[7]:10:8,' ',p1[8]:10:8);
//readln;
End;
Writeln(ff1,'__________________________________________');
Writeln(ff1,'Aa? iyoiinoe ninoiyiee');
//Po:=1/(sum(lam/mu, n-1)+(step(lam/mu, n-1)/fact(n-1))*((lam/mu/(n-1)-step(lam/mu/(n-1),m+1))/(1-lam/mu/(n-1))));
Po:=1/(sum(lam/(n*mu),n-1)+(step(lam/(n*mu),n)/fact(n-1)/(n-lam/(n*mu))));
//Writeln(ff1,Po:20:10);
For i:=0 to n-1 do
Begin
Ps:=(step(lam/(n*mu),i)/fact(i))*Po;
Writeln(ff1,i, Ps:20:10);
End;
For i:=n to n+m do
Begin
Ps:=(step(lam/(n*mu),i)/fact(n-1)/step(5,i-n))*Po;
Writeln(ff1,i, Ps:20:10);
End;
Writeln(ff1,'aa? iyoiinou iaee? ey i? a?aae '); Writeln(ff1,( step(lam/(n*mu),3)/fact(2)/(2-lam/(n*mu))*Po ):20:10);
Writeln(ff1,'aa? iyoiinou caiyoinoe anao oceia nenoaiu '); Writeln(ff1,( step(lam/(n*mu),2)/fact(1)/(2-lam/(n*mu))*Po ):20:10);
Writeln(ff1,'n? aaiaa? enei o? aaiaaiee a nenoaia '); Writeln(ff1,Po*(lam/(n*mu)* sum(lam/(n*mu),5)+step(lam/(n*mu),3)*(2+1-lam/(2*mu))/fact(1)/step(2-lam/(2*mu),2) ):20:10);
Writeln(ff1,'n? aaiyy aeeia i? a?aae '); Writeln(ff1,( Po*step(lam/(n*mu),3)/fact(1)/step(2-lam/(n*mu),2)):20:10);
Suma:=0;
For k:=1 to 2 do suma:=suma+k*(step(lam/(n*mu),k)/fact(2-k));
Writeln(ff1,'n? aaiaa? enei naiaiaiuo oceia'); Writeln(ff1,( suma*Po ):20:10);
Writeln(ff1,'n? aaiaa? enei caiyouo oceia'); Writeln(ff1,( 2-suma*Po ):20:10);
Writeln(ff1,'n? aaiaa a? aiy i? eaaiey ia? aea ianeo? eaaiey'); Writeln(ff1,( step(lam/(n*mu),2)/(k*mu*fact(1)*step(2-lam/(n*mu),2))*Po ):20:10);
CloseFile(FF1);
End.
Похожие статьи
-
Системы массового обслуживания -- это такие системы, в которые в случайные моменты времени поступают заявки на обслуживание, при этом поступившие заявки...
-
СМО с очередью - Теория массового обслуживания
В качестве показателей эффективности СМО с ожиданием, кроме уже известных показателей -- абсолютной A и относительной Q пропускной способности,...
-
Введение - Одноканальные системы массового обслуживания
Во многих областях практической деятельности человека мы сталкиваемся с необходимостью пребывания в состоянии ожидания. Подобные ситуации возникают в...
-
Анализ эффективности систем массового обслуживания с ожиданием - Теория массового обслуживания
Система с ограниченной длиной очереди. Рассмотрим n - канальную СМО с ожиданием, на которую поступает поток заявок с интенсивностью л=14/час;...
-
Теория массового обслуживания - Применение теории массового обслуживания
Теория массового обслуживания - вероятностные модели реальных систем обслуживания населения, при которых время обслуживания будет минимальным, а качество...
-
Обслуживание с ожиданием - Задачи линейного програмирования
СМО с ожиданием распространены наиболее широко. Их можно разбить на 2 большие группы - Разомкнутые и Замкнутые . Эти системы определяют так же, как...
-
Теория массового обслуживания - теория, которая изучает статистические закономерности в массовых операциях, состоящих из большого числа однородных...
-
Метод Монте-Карло используют для вычисления интегралов, в особенности многомерных, для решения систем алгебраических уравнений высокого порядка, для...
-
Теоретическое описание методов решения задания, СМО с отказами - Теория массового обслуживания
СМО с отказами Одноканальная система (СМО) с отказами Имеется один канал, на который поступает поток заявок с интенсивностью л, поток обслуживания имеет...
-
Анализ систем массового обслуживания с отказами. А) Задана многоканальная СМО с отказами. Она имеет состояния: - в СМО нет ни одной заявки; - в СМО...
-
Заключение - Моделирование систем массового обслуживания с использованием метода Монте-Карло
Метод Монте-Карло можно определить как метод моделирования случайных величин с целью вычисления характеристик их распределений. Возникновение идеи...
-
Выводы, Используемая литература - Одноканальные системы массового обслуживания
В этом реферате раскрыты понятия систем массового обслуживания. Также описаны типичные элементы, из которых состоят системы массового обслуживания...
-
Пусть требуется разыграть испытания в каждом из которых событие А появляется с вероятностью р и не появляется с вероятностью 1-р [4]. Заменим...
-
В настоящее время нельзя назвать область человеческой деятельности, в которой в той или иной степени не использовались бы методы моделирования. Особенно...
-
Применение теории массового обслуживания - Применение теории массового обслуживания
Теория массового обслуживания - прикладная область теории случайных процессов. Теория рассматривает вероятностные модели реальных систем обслуживания....
-
Математическое ожидание - Основы научных исследований
Интегральная и дифференциальная функции распределения являются исчерпывающими статистическими характеристиками любой случайной величины. Однако многие...
-
Основные понятия теории экономико-математического моделирования Кибернетический подход к исследованию экономико-математических систем Обычно...
-
Трудности использования стандартных моделей, разработанных в теории массового обслуживания, можно преодолеть одним из следующих способов. Во-первых,...
-
Введение - Теория массового обслуживания
Сложный характер рыночной экономики и современный уровень предъявляемых к ней требований стимулируют использование более серьезных методов анализа ее...
-
Модель "вход - выход" для нестационарной системы управления можно представить в следующем виде [2] . Где коэффициенты матриц возмущения и ограничены...
-
В большинстве случаев структурная неопределенность вызвана неполнотой знания аналитической структуры уравнений модели объекта управления. При не...
-
Пример использования СМО с ожиданием - Задачи линейного програмирования
В городе имеется транспортное агентство для обслуживания населения. Число заявок на обслуживание случайно и представлено выборкой 1. Время перевозок...
-
В практике управления системами различного назначения (экономическими, финансовыми, техническими и др.) неизбежно приходится сталкиваться с различными...
-
1. Цыпкин, Я. З. Частотные критерии робастной модальной линейных дискретных систем / Я. З. Цыпкин, Б. Т. Поляк // Автоматика.-1990. - № 5. - С.4-11. 2....
-
При управлении подвижными объектами (такими, например, как мобильные роботы, подводные аппараты и т. п.) часто имеет место неопределенность цели, когда...
-
В нашем анализе данных показателей рынков под "самородками" понимаются зависимости, отражающие степень эффективности рекламных кампаний. Эксперты часами...
-
Математическое ожидание, дисперсия Дискретной называют случайную величину, которая принимает отдельные, изолированные возможные значения с определенными...
-
Введение - Применение теории массового обслуживания
Математическое моделирование Одним из видов формализованного знакового моделирования является математического моделирование, осуществляемое средствами...
-
Большинство систем классификации растворителей по химическим признакам в явной либо неявной формах учитывает их кислотно-основные свойства. Поэтому самая...
-
Разработка алгоритма нахождения входного потока заявок в имитационной модели контрольно-пропускной системы на основе статистических данных В наши дни...
-
Пусть есть математическое ожидание цены состояния объекта при условии, что в момент времени tдопустимое экологическое состояние не достигнуто и цена...
-
В большинстве реальных больших систем не обойтись без учета "состояний природы" -- воздействий Стохастического типа, случайных величин или случайных...
-
Система статистических показателей - Характеристика статистических показателей
Нередко мы слышим и читаем "...эти цифры говорят...", "...как говорят нам статистические цифры...". В чем смысл подобных оборотов речи? Ведь на самом...
-
Классификация СМО и их основные элементы - Задачи линейного програмирования
СМО классифицируются на разные группы в зависимости от состава и от времени пребывания в очереди до начала обслуживания, и от дисциплины обслуживания...
-
Программное управление является приемлемым подходом во многих прикладных ситуациях. На этом принципе основаны, например, простые металлорежущие станки...
-
Моделирование динамики рыночной системы
Введение В современных условиях динамичного развития рыночной системы экономика, испытывающая многочленные подъемы и спады, требует внешнего воздействия,...
-
Наиболее ранним способом формализации экономико-математических и ТС является представление физических явлений с помощью систем дифференциальных...
-
Модель Мальтуса Скорость роста пропорциональна текущему размеру популяции. Она описывается дифференциальным уравнением Где б -- некоторый параметр,...
-
Система "Диспетчер" апробирована на реальных исходных данных двух регионов Нефтяной Компании "Юкос" (Липецкая и Воронежская области) и показала свою...
-
Взаимосвязи случайных событий - Основы теории систем и системного анализа
Вернемся теперь к вопросу о случайных событиях. Здесь методически удобнее рассматривать вначале простые события (может произойти или не произойти)....
Исследование систем массового обслуживания с ожиданием