Игра для двух игроков - Шулеры, или Математическое исследование одной карточной игры

Пусть на круге (N, k) играют два игрока. Они делают ходы по очереди. Проигрывает тот, кто не может сделать ход. Кто выигрывает при правильной игре?

Естественно, изначально наша совокупность карт разбита на одну или несколько компонент. Пусть компонент четное количество. Тогда выигрывает второй игрок - он попросту разбивает компоненты на пары, после чего в каждой паре играет симметрично первому игроку (легко понять, что все компоненты будут одинаковы). Если компонент нечетное количество (и в том числе, если таковая всего одна), то легко понять, что выигрывает тот, кто выигрывает на одной компоненте (остальные он разбивает на пары и играет на всех парах симметрично своему сопернику). Поэтому будем рассматривать одну компоненту.

Пусть наша компонента имеет вид круга (X, y) (мы помним, что каждая простая компонента имеет вид круга). Тогда уже описанным выше способом превращаем этот круг в круг (X,1). (Вспомним, как мы превращали круг (10,3) в круг (10,1). Заметим, что в этой игре безразлично, есть ли возможность хода П-1 или есть только возможность хода П+1. Ведь каждый ход - это есть разбиение какого-то ряда подряд идущих неперевернутых карт на два таких ряда (или, может быть, уменьшение количества подряд идущих карт в некотором ряду на одну, если будет перевернута одна из крайних карт ряда). Цель обоих игроков в обоих случаях одна и та же - получить после своего хода позицию, при котором не найдется ряда подряд идущих неперевернутых карт длиннее одной карты. Даже то, что в одном из случаев игроки не могут переворачивать первую карту в ряду, ничего не меняет - ведь они могут перевернуть последнюю, что по сути приведет к тому же положению. Поэтому оба случая идентичны. Будем рассматривать случай, в котором ход П-1 возможен, так как он кажется нам более красивым.

Пронумеруем карты на круге числами от 1 до х.

При четных х выигрывает второй - он попросту играет симметрично ходам первого игрока. Исключение составляет случай Х=2, в котором, естественно, выигрывает первый.

При нечетных Х мы имеем гипотезу, что Первый игрок выигрывает при х = 8M + 5, а при прочих х выигрывает второй. К сожалению, эта гипотеза пока не доказана. Мы предлагаем несколько нечетных значений Х, при которых наша гипотеза доказана.

Заметим, что какую карту первым ходом перевернет первый игрок, значения не имеет. Поэтому будем считать для удобства, что первой он переворачивает карту № X.

При Х=3 очевидно, что выигрывает второй игрок.

При Х=5 почти так же очевидно, что выигрывает первый. Первый его ход, как уже было сказано, ничего не меняет; легко видеть, что на любой первый ход второго игрока первый сможет ответить так, что игра тут же закончится (у второго не будет хода).

Будем показывать выигрышную стратегию для какого-либо игрока при помощи таблицы. После первого хода первого игрока круг из 5 карт превращается в ряд из четырех:

1

2

3

4

3

4

1

2

Число в верхней строке таблицы обозначает номер карты (будем считать для удобства, что своим первым ходом первый игрок переворачивает карту с номером х, т. е. в данном случае с номером 5). Поясним, что означает число в нижней строке. Пусть второй игрок своим первым ходом перевернул карту №1. Видим, что в нижней строке таблицы в графе карты №1 стоит цифра 3. Это значит, что своим вторым ходом первый переворачивает карту под номером 3. Легко видеть, что тогда он выигрывает (у второго нет хода). Т. е. число в нижней строке обозначает своеобразный "ответный победный ход", в данном случае, для первого игрока.

Легко видеть, что если второй игрок перевернет своим первым ходом карту №2, то ответный ход, которым первый (в соответствии с таблицей) перевернет карту №4, будет для него победным и т. д., т. е. при Х = 5 первый выигрывает.

Пусть х=7. Как мы договаривались, первый игрок первым ходом переворачивает карту №7. В ответ второй переворачивает карту №2. Карта №1 как бы выбывает из игры, и игра продолжается на картах с №3 по №6. Этот случай (т. е. случай при игре на ряде из четырех картах) уже был рассмотрен выше. Видим, что выигрывает второй.

При х=9 выигрывает второй, перевернув своим первым ходом третью карту:

1

2

3

4

5

6

7

8

4

4

1

6

5

6

1

Случаи, когда своим следующим ходом переворачивает карту №1, №2, №4 или №8 (а второй - соответственно №4 или №1), приводят к уже рассмотренному нами варианту. Остальные случаи приводят к игре на двух рядах по две карты в каждом (будем называть рядом совокупность подряд идущих неперевернутых карт), и после двух следующих ходов игра окончится победой второго игрока.

При х=11 второй игрок своим первым ходом переворачивает четвертую карту и выигрывает:

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

5

6

5

3

2

6

9

2

1

Случаи, когда первый игрок следующим ходом перевернул карту №1, №2, №3, №5, №6, №9 или №10 (а второй игрок ответил соответственно таблице), приводят к уже рассмотренным нами вариантам. В остальные случаях игра продолжается на двух рядах по три карты в каждом, и второй игрок выиграет, если будет играть симметрично ходам первого игрока.

При х=13 выигрывает первый игрок:

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

7

6

4

8

9

12

1

4

5

3

7

6

Случаи, когда второй игрок своим первым ходом перевернет карту №1, №6, №7 или №12, приводят к позициям, когда первый может выигрывать при помощи симметрии. Если второй перевернет карту №4, №5, №8 или №9, то после ответа первого игра будет продолжаться на двух рядах по три карты (на которых первый будет играть симметрично второму) и на ряд из четырех карт, на котором также выиграет первый (соответственно рассмотренному выше случаю для ряда из четырех карт). Если второй следующим ходом перевернет карту №2 (или карту №11 - два симметричных случая) а первый следующим ходом, соответственно, №6, то игра продолжится на двух рядах из 3 и 6 карт, который уже был рассмотрен выше (случай х=11)

Если же следующим ходом второй перевернул карту №3 (или №10), а первый ответит соответственно таблице, то дальнейшая игра первого может быть такова:

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

7

7

7

7

1

7

10

1

10

10

Ходы второго, переворачивающие карты №1, №2, №5, №6, №7, №10, №11, №12, приводят к уже рассмотренным нами случаям; если второй перевернет карту №8 или №9, то игра продолжается на двух рядах по две карты и на одном - из четырех карт. Первый игрок будет играть за второго отдельно на двух рядах по две карты и отдельно - на ряду из четырех карт, в обоих случаях он выиграет.

При х=15 второй попросту переворачивает карту №2, после чего играет на ряде из 12 карт по уже описанному выше алгоритму.

При х=17 своим первым ходом второй переворачивает карту №7:

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

8

12

14

14

12

8

6

10

13

14

5

10

3

14

6

Случаи, когда следующим ходом первый переворачивает одну из карт №2, №3, №4, №5, №10, №11, №12, №13 или №14, затруднений не вызывают. В результате игра продолжается на трех рядах по 4 карты (на всех трех второй выигрывает так же, как он выигрывал на одном в случае х = 5) либо на двух рядах по 2 карты (на этих двух рядах воспользуемся симметричной игрой), на ряде из 3 и ряде из 6 карт (игра на двух рядах - из 3 и 6 карт - уже была рассмотрена выше). Если следующим ходом первый переворачивает карту №9 или №15, то указанный ответный ход второго (приводящий к игре на двух рядах по 6 карт) позволяет второму победить симметричной игрой. Остановимся подробнее на случае, когда следующим ходом переворачивается карта №1, №6, №8 или №16 (что приводит к игре на двух рядах - из 5 и из 8 карт):

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

4

4

2

4

4

11

11

9

5

5

15

14

14

Если следующим ходом первый переворачивает карту №2. №3, №4. №5 или №6, все сводится к рассмотренному нами случаю игры на двух рядах из 2 и 8 карт (случай был рассмотрен при х=12). Ходы №9, №10, №11. №14, №15, №16 приводят к победе второго при помощи симметричной игры, ходы №12 и №13 первого игрока также приводят к игре на двух рядах по три карты (симметричная игра) и одном ряду из четырех карт (рассмотренный случай).

При х=19 своим первым ходом второй переворачивают карту №8:

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

9

10

10

12

10

10

9

7

6

10

4

6

6

4

17

6

7

Если своим следующим ходом первый игрок переворачивает карту №2, №6, №10 или №17 приводят к уже рассмотренному случаю игры на рядах из 5 и 8 карт. Если следующим ходом будет перевернута карта №3 или №5 игра продолжается на ряде из четырех карт (выигрывает второй) и на двух рядах из 2 и 8 карт (выигрывает второй), если карта №4, №12 или №15 - на двух рядах по три карты (симметрия) и на двух рядах из трех и шести карт (выигрывает второй), если карта №13 или №14 - на двух рядах по 5 карт (симметрия) и на ряду из 4 карт (выигрывает второй), карта №11 или №16 - на двух рядах из 6 карт (симметрия). Случай, когда первый переворачивает какую-либо другую карту, приводит к игре на рядах из 6 и 9 карт. Рассмотрим этот случай.

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

10

14

12

16

14

18

2

12

4

14

3

14

5

16

7

Все случаи приводят к уже рассмотренным позициям, кроме хода, при котором первый переворачивает карту №13 или №15. Если будет сделан именно такой ход, то игра продолжается на ряду из 4 карт (выигрывает второй) и на двух рядах из 3 и 6 карт (выигрывает второй).

При х=21 выигрывает первый:

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

11

10

4

3

13

13

13

16

13

20

1

8

9

8

8

8

18

17

10

10

Если своим первым ходом второй перевернет карту №1, №10, №11 или №20, игра продолжится на двух рядах из 9 карт - симметрия. Ходы, которыми второй переворачивает карту №2 или №19, приводят к уже рассмотренному случаю игры на рядах из 7 и 10 карт. В ответ на ходы №6, №7, №8, №14, №15, №16 первый сводит игру к игре на трех рядах из 5, 6 и 7 карт. Рассмотрим этот случай:

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

14

17

14

17

14

17

19

14

14

15

17

1

11

11

2

11

8

1

Ходы №2, №4 и №17 приводят к уже рассмотренному случаю (три ряда по 3 карты и один - из 6 карт). Ходы №1, №5, №14 и №20 позволяют первому играть за второго на ряду из 4 карт (выигрывает второй) и на двух рядах из 6 карт (симметрия). Ход №3 позволяет первому выиграть при помощи симметрии (игра продолжается на двух рядах из двух карт и на двух - из шести) как и ходы №7 и №12. Ходы №8, №11, №15 и №19 приводят к уже рассмотренному случаю. Ходы №9, №10 позволяют первому играть за второго на двух рядах из 2 и 5 карт и на двух рядах из 3 и 6 карт. Ходы №16 и №18 приводят к игре на двух рядах по 4 карты (симметрия) и на двух рядах из 2 и 5 карт (первый играет за второго и выигрывает).

Во всех шести остальных случаях получаем одну из двух следующих позиций:

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

11

11

8

13

14

5

13

14

1

19

6

1

11

12

20

11

12

17

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

11

17

14

17

17

14

17

11

17

8

17

6

6

17

10

17

6

6

Укажем стратегию первого на обеих. После хода №3 или №4:

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

11

11

8

13

14

5

13

14

1

19

6

10

11

12

20

11

12

17

Ходы №1, №2, №7, №10, №11, №14, №15, №18, приводят или к уже рассмотренным нами случаям, или к возможности симметричной игры, словом, к очевидному результату. Ходы №5, №8, №17 и №20 приводят к игре на двух рядах по две карты (симметрия) и на одном ряду из 12 карт (первый играет за второго и выигрывает). Рассмотрим результаты ходов №9 или №16:

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

14

14

17

15

17

1

11

11

10

11

11

1

Ряд из четырех карт (с 5-ой по 8-ую) можно не учитывать - на ней выигрывает второй, следовательно, тот, кто выигрывает на остальной части, сыграет на этой части за второго и она на результате игры никак не скажется. Ходы №1, №2, №11, №14, №15, №16, №18, №19 и №20 приводят к уже рассмотренным случаям. Ходы №10, №12 и №17 приводят к позиции, при которой первый может выиграть за второго по симметрии.

Рассмотрим результаты ходов №6, №12, №13, №19 (все они приводят к одной и той же позиции):

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

14

14

17

15

14

14

19

17

1

8

8

7

8

11

1

Все ходы приводят к уже рассмотренным ранее позициям.

После ходов №9 или №13:

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

11

17

14

17

17

14

17

11

17

8

17

6

11

17

4

17

11

6

Ходы №1, №2, №3, №6, №7, №8, №11, №14, №15, №19 и №20 приводят к уже рассмотренным нами позициям. Ходы №4, №5 и №17 приводят к игре на четырех рядах по три карты (симметрия) и одном ряду из четырех карт (первый играет за второго и выигрывает). Ходы №10, №12, №16 и №18 приводят к позиции, когда игра продолжается на двух рядах по три карты (симметрия) и на двух рядах из 2 и 8 карт (случай, рассмотренный выше).

Таким образом, все случаи для х=21 рассмотрены.

При х=23 второй переворачивает вторую карту и играет за второго на 20 картах по только что приведенному алгоритму.

При х=25 второй своим первым ходом переворачивает карту №11 и выигрывает:

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

14

16

17

18

16

16

18

19

20

14

12

13

14

15

16

17

18

19

20

21

22

23

24

14

14

12

4

2

3

4

8

9

7

23

22

22

Ходы №4, №7 и №18 приводят к позиции, когда игра продолжается на трех рядах по 6 карт и одном ряду из 3 карт. На двух рядах из 6 карт второй применяет симметрию, случай игры на двух рядах из 3 и 6 карт рассмотрен выше. Ходы №2, №9, №16 и №20 приводят к игре на одном ряду из 4 карт (выигрывает второй) и на двух рядах по 8 карт (симметрия). Ходы №15 и №21 приводят к игре на двух рядах по три карты (симметрия) и на двух рядах из 6 и 9 карт (случай рассмотрен выше). Ходы №12, №13, №14, №22, №23 и №24 приводят к игре на двух рядах по 10 карт (симметрия). Ходы №3, №8, №17 и №19 приводят к игре на двух рядах из 7 карт (симметрия). Ходы №5 и №6 приводят к игре на двух рядах по 4 карты (симметрия) и на двух рядах из 5 и 8 карт (случай рассмотрен выше). Ходы №1 и №10 приводят к следующей позиции:

1

2

3

4

5

6

7

8

9

18

17

15

15

16

15

24

22

21

12

13

14

15

16

17

18

19

20

21

22

23

24

15

15

12

5

2

1

5

5

9

8

5

12

Ходы №12, №13, №15 и №24 приводят к игре на двух рядах по 9 карт (симметрия). Ходы №5, №16 и №23 приводят к игре на двух рядах по 4 карты (симметрия) и на двух рядах из 2 и 8 карт (случай рассмотрен выше). Ходы №3 и №7 приводят к игре на двух рядах по 2 карты (симметрия) и на двух рядах из 6 и 9 карт (случай рассмотрен выше). Ходы №2, №8, №17 и №22 приводят к игре на двух рядах по 2 карты (симметрия). Ходы №1, №9, №18 и №21 приводят к игре на двух рядах их 3 и6 карт (рассмотренный случай) и на двух - из 2 и 8 карт (рассмотренный случай). Ходы №19 и №20 приводят к игре на трех рядах из 4 карт (рассмотренный случай и на двух рядах из 2 и 5 карт(рассмотренный случай). Ходы №4 и 6 приводят к игре на двух рядах из 2 и 5 карт (рассмотренный случай) и на двух - из 3 и 9 карт. Докажем, что при игре на 3 и 9 картах второй тоже выигрывает.

1

2

3

16

17

18

19

20

21

22

23

24

17

20

17

18

1

16

22

2

18

24

1

22

Все случаи приводят к ранее рассмотренным вариантам.

При х=27 своим первым ходом второй переворачивает карту №12 и выигрывает:

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

13

17

14

19

17

25

22

20

25

22

26

13

14

15

16

17

18

19

20

21

22

23

24

25

26

1

6

13

20

2

3

4

8

9

10

19

25

6

11

Ходы №1, №11, №13 и №26 приводят к уже рассмотренным случаям. Ходы №2, №10, №17 и №22 приводят к игре на ряду из 4 карт (рассмотренный случай) и на 2 рядах из 9 карт (симметрия). Ходы №6, №14 и№25 приводят к игре на двух рядах по 5 карт (симметрия) и на одном ряду из 12 карт (рассмотренный случай). Ходы №3 и №9 приводят к игре на ряду из 12 карт (рассмотрено) и двух рядах из 2 и 8 карт (рассмотрено). Ходы №4, №8, №19 и №20 приводят к игре на двух рядах из 7 карт (симметрия) и двух рядах из 3 и 6 карт (рассмотрено). Ходы №5 и №7 приводят к игре на двух рядах из 4 карт (симметрия) и на двух рядах 6 и 9 карт (рассмотрено). Ходы №15 и №24 приводят к игре на двух рядах из 11 карт (симметрия). Ходы №18 и №20 приводят к игре на двух рядах из 2 и 5 карт (рассмотрено) и на двух рядах из 8 карт (симметрия). Ход №16 и ход №23 приводят к игре на четырех рядах: на 2 рядах из 3 карт (симметрия) и на двух рядах из 7 и 10 карт. Докажем, что на рядах из 7 и 10 карт второй выигрывает:

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

9

10

13

12

14

10

9

11

11

10

4

3

5

4

18

16

16

Все случаи приводят к уже рассмотренным нами позициям.

На этом наш перебор закончен.

Есть гипотеза, что При Х = 8У + 1 И Х = 8У + 3 Второй выигрывает, Переворачивая карту № 4у-1 и № 4у Соответственно. Заметим, что во всех подобных случаях, рассмотренных выше, выигрывал именно этот ход.

Похожие статьи




Игра для двух игроков - Шулеры, или Математическое исследование одной карточной игры

Предыдущая | Следующая