Экспоненциальное распределение - Законы надежности

Известное выражение для вероятности безотказной работы при = const превращается в зависимость, соответствующую экспоненциальному закону распределения

, (1)

Плотность которого равна

. (2)

Однопараметрическое распределение (3.1) широко используется в теории надежности, главным образом из-за его простоты и очевидности физической картины процессов, вызывающих изменение надежности по данному закону. Оно описывает распределение времени безотказной работы при постоянной опасности отказа.

Постоянство интенсивности отказа позволяет из (2.15а) получить выражение

. (3)

Отрицательное значение производной в (3) свидетельствует о том, что с увеличением наработки происходит снижение темпа уменьшения вероятности безотказной работы.

Вероятность отказа при экспоненциальном распределении равна

. (4)

Графики основных зависимостей экспоненциального распределения показаны на рис.3.

графики экспоненциального распределения

Рис.3. Графики экспоненциального распределения

Математическое ожидание, равное наработке на отказ, определится для экспоненциального распределения из выражения

. (5)

Как следует из (5), средняя наработка на отказ экспоненциального распределения обратно пропорциональна интенсивности отказов. Это позволяет записать, что

и. (6)

Из (6) следует, что при экспоненциальном законе надежности достаточно знать среднюю наработку на отказ, чтобы определить вероятность безотказной работы объекта в любой момент времени.

Важной особенностью экспоненциального закона распределения является то обстоятельство, что вероятность безотказной работы в каком-то интервале времени не зависит от предшествующей наработки объекта, а зависит только от величины самого интервала. Допустим, что объект благополучно проработал время t и нас интересует вероятность безотказной работы на интервале t. Эту условную вероятность обозначим P(t/t). В то же время вероятность работоспособного состояния объекта к моменту (t+t) можно рассматривать как вероятность сложного события, заключающегося в том, что объект безотказно отработал время t (одно событие) и затем также безотказно время t (второе событие). Тогда по правилу умножения вероятностей P(t+t) = P(t) P(t/t), откуда P(t/t)= P(t+t)/ P(t).

Для экспоненциального закона получаем

. (7)

Выражение (7) дает основание считать, что независимость вероятности безотказной работы объекта от предыстории нагружений может быть объяснена возникновением отказов только определенного класса, а именно внезапных отказов.

Похожие статьи




Экспоненциальное распределение - Законы надежности

Предыдущая | Следующая