Авторегрессионные модели со скользящими средними в остатках (ARMA(p, q)-модели) - Динамические ряды
Представление процесса типа МА в виде процесса авторегрессии неэкономично с точки зрения его параметризации. Аналогично процесс AR не может быть экономично представлен с помощью модели скользящего среднего. Поэтому для получения экономичной параметризации иногда бывает целесообразно включить в модель как члены, описывающие авторегрессию, так и члены, моделирующие остаток в виде скользящего среднего. Такие линейные процессы имеют вид
T = 1t1 +...+ Ptp + T 1t1 ... Qtq (2.30)
И называются процессами авторегрессии скользящего среднего порядка (p, q)(ARMA(p, q)).
Стационарность и обратимость ARMA(p, q)-процессов. Записывая процесс (2.30) в виде
(2.31)
Где, можно провести анализ стационарности (2.31) по той же схеме, что и для AR(p)-процессов. При этом различие "остатков" и Е никак не повлияет на выводы, определяющие условия стационарности процесса авторегрессии. Поэтому процесс (2.30) является стационарным тогда и только тогда, когда все корни характеристического уравнения AR(p)-процесса лежат вне единичного круга.
Аналогично, обозначив и рассматривая процесс (2.30) в виде
,
Получаем те же выводы относительно условий обратимости этого процесса, что и для процесса МА(q): для обратимости ARMA(p, q)-процесса необходимо и достаточно, чтобы все корни характеристического уравнения МА(q)-процесса лежали бы вне единичного круга.
Автокорреляционная функция анализируется аналогично, тому как это делалось для AR - и МА-процессов, что позволяет сделать следующие выводы.
- 1) Из соотношений () = 1( 1) +...+ P( p) + () 1( 1) ... Q( q), (где (k) = E(Tkt) "перекрестная" ковариационная функция последовательностей T и T) для = 0, 1,..., q следует, что ковариации (0), (1),..., (q) и, соответственно, автокорреляции r(1),..., r(q) связаны определенной системой зависимостей с q параметрами скользящего среднего 1,..., Q и p параметрами авторегрессии 1,..., P. При этом перекрестные ковариации (), ( 1),..., ( q) при положительных значениях сдвига по времени равны нулю, а при отрицательных тоже могут быть выражены в терминах параметров 1,..., P,1,..., Q с помощью следующего приема: пусть k > 0; тогда (k) = E(Tkt); в произведении Tkt с помощью (k + 1)-кратной последовательной подстановки первого сомножителя по формуле (2.30) он заменяется линейной комбинацией T1, элементов белого шума и параметров модели, что после применения к получившемуся произведению операции усреднения E дает выражение, зависящее только от параметров модели (поскольку E(T1t) = 0). 2) Значения автокорреляционной функции r() для q + 1 вычисляются по рекуррентному соотношению r() = 1R( 1) + 2R( 2) +...+ PR( p) при q + 1, которое в точности повторяет аналогичное рекуррентное соотношение (2.24) для автокорреляционной функции процесса AR(p). Это значит, что, начиная с = q + 1, автокорреляционная функция процесса ARMA(p, q) ведет себя так же, как и автокорреляционная функция процесса AR(p), т. е. она будет состоять из совокупности затухающих экспонент и (или) затухающих синусоид, и ее свойства определяются коэффициентами 1,..., P и начальными значениями r(1),..., r(p).
Частная автокорреляционная функция процесса ARMA(p, q) при больших ведет себя как частная автокорреляционная функция МА(q)-процесса. Это значит, что в ней преобладают члены типа затухающих экспонент и (или) затухающих синусоид (соотношение между теми и другими зависит от порядка скользящего среднего q и значений параметров процесса).
Спектральная плотность процесса ARMA(p, q) может быть вычислена с помощью соотношения:
Идентификация процесса ARMA(p, q) базируется (так же как и AR-и МА-моделях) на статистическом оценивании параметров модели с помощью метода моментов. Процедура оценивания параметров K (k = 1, 2,..., p), J (j = 1, 2,..., q)и разбивается на два этапа. На 1-м этапе получаются оценки параметров K, на 2-м оценки параметров J и.
1-й этап. Параметры автокорреляционной составляющей модели (2.30) удовлетворяют системе линейных уравнений:
(2.32)
Подставляя в (2.32) вместо r(k) их выборочные значения и решая получившуюся систему относительно J (j = 1,..., p), получаем оценки.
2-й этап. Подставляя полученные оценки в (2.30) получаем набор из q + 1 соотношений:
Эта система позволяет получить нелинейные зависимости, связывающие искомые параметры, 1,..., Q с автоковариациями и построенными на 1-м этапе оценками.
Похожие статьи
-
Модели скользящего среднего порядка q (МА(q)-модели) - Динамические ряды
Рассмотрим частный случай общего линейного процесса ( 2.13), когда только первые q из весовых коэффициентов J ненулевые. В это случае процесс имеет вид T...
-
Модели авторегрессии порядка p (AR(p)-модели) - Динамические ряды
Рассмотрим сначала простейшие частные случаи. Модель авторегрессии 1-го порядка AR(1) (марковский процесс). Эта модель представляет собой простейший...
-
Уравнение динамики теплообменника: Передаточные функции объекта получим по его уравнению динамики. Для этого запишем уравнение по заданному каналу. Затем...
-
Для выполнения контрольной работы необходимо по результатам торгов различными акциями (finam. ru) сформировать базу, включающую в себя: цены открытия,...
-
Ранговый метод - Ранговый метод оценивания параметров регрессионной модели
Метод наименьших квадратов широко применяется для оценки параметров линейной регрессии, поскольку достаточно прост в вычислении и при предположении о...
-
Спецификация модели Почти каждая компонента динамической части модели потребует комментариев, поэтому для каждой компоненты модели будет отведен...
-
Модели стационарных временных рядов и их идентификация - Динамические ряды
В 2.2 рассматривался класс стационарных временных рядов, в рамках которого подбирается модель, пригодная для описания поведения случайных остатков...
-
Содержание и классификация динамических эконометрических моделей - Эконометрика как наука
Можно выделить два основных типа динамических эконометрических моделей. К модели первого типа относятся модели авторегрессии и модели с распределенным...
-
Неслучайная составляющая временного ряда и методы его сглаживания - Динамические ряды
Существенную роль в решении задач выявления и оценивания трендовой, сезонной и циклической составляющих в разложении (1.1.1) играет начальный этап...
-
Основные задачи анализа временных рядов - Динамические ряды
Принципиальные отличия временного ряда от последовательности наблюдений, образующих случайную выборку, заключаются в следующем: Во-первых, в отличие от...
-
Эконометрические методы могут быть применены в моделировании, имитации и прогнозировании рыночных процессов. Достаточно широко в маркетинге используются...
-
Прогнозирование в регрессионных моделях - Эконометрика как наука
Моделирование в научных исследованиях стало применяться еще в глубокой древности и постепенно захватывало все новые области научных знаний: техническое...
-
Для достижения поставленной цели предприятию требуются материалы, оборудование, энергия, рабочая сила и другие ресурсы. Каждое предприятие такими...
-
Проверить ряд на наличие выбросов методом Ирвина, сгладить методом простой скользящее средней с интервалом сглаживания 3, методом экспоненциального...
-
В основе метода площадей лежит предположение, что объект может быть описан линейным дифференциальным уравнением с постоянными коэффициентами, а его...
-
Основные понятия и обозначения Динамическое программирование как самостоятельная дисциплина сформировалась в пятидесятых годах двадцатого века. Большой...
-
Модель Бокса и Дженкинса Процедуры оценки параметров и прогнозирования, описанные в разделе Идентификация модели временных рядов, предполагают, что...
-
Применение эконометрического анализа в управлении - Практические аспекты эконометрического анализа
Статистические и математические модели экономических явлений и процессов определяются спецификой той или иной области экономических исследований. Так, в...
-
Теоретическое обоснование математического моделирования - Математические методы и модели в экономике
Коммерческая деятельность в том или ином виде сводится к решению таких задач: как распорядиться имеющимися ресурсами для достижения наибольшей выгоды или...
-
Развитие методов многокритериальной оптимизации сложных систем обусловлено необходимостью повышения эффективности их функционирования на основе обобщения...
-
Численный сравнительный анализ - Ранговый метод оценивания параметров регрессионной модели
Итак, в рамках данной работы рассматриваются такие распределения случайных величин, как распределения Гаусса и Лапласа, треугольное распределение...
-
Динамическое программирование Динамическое программирование -- один из разделов оптимального программирования, в котором процесс принятия решения и...
-
Классификация математических моделей - Построение и классификация математических моделей
К классификации математических моделей разные авторы подходят по-своему, положив в основу классификации различные принципы. Можно классифицировать...
-
Построение многофакторной корреляционно-регрессионной модели производительности труда
Построение многофакторной корреляционно-регрессионной модели производительности труда Данная работа направлена на выявление факторов, от которых зависит...
-
В 1974г. группа аргентинских ученых во главе с профессором А. Эррерой получила предварительные результаты работы над латиноамериканской моделью...
-
Модели и моделирование - Экономико-математические методы
Одним из основных методов научного познания является эксперимент, а самой распространенной его разновидностью - метод моделирования систем. В процессе...
-
Имеется выборка объема n экспериментальных значений. Предполагаем, что ошибки вычисления пренебрежимо малы, а случайные ошибки измерения температур...
-
Введение - Ранговый метод оценивания параметров регрессионной модели
Объектом исследования в этой ВКР является ранговый метод оценивания параметров регрессионной модели. Этот метод применяется при построении регрессионных...
-
Методы оценки параметров структурной формы модели - Основы эконометрики
Коэффициенты структурной модели могут быть оценены разными способами в зависимости от вида системы одновременных уравнений. Наибольшее распространение в...
-
Задача о загрузке рюкзака (задача о ранце) - Метод динамического программирования для решения задач
Постановка задачи. Пусть имеются N видов грузов с номерами. Единица груза j-го вида имеет все aJ. Если груз j-го вида берется в количестве xJ, то его...
-
Охарактеризовать виды моделей - Методы линейного программирования
Модель -- это некий новый объект, который отражает существенные особенности изучаемого объекта, явления или процесса. Один и тот же объект может иметь...
-
Z -преобразование является одним из математических методов, разработанных для анализа и проектирования дискретных систем. Аппарат Z -преобразования...
-
Модели временных последовательностей, Критерии производительности - Прогнозирующие системы
Используемые для наших целей временные последовательности представляют собой последовательность наблюдений за интересующей переменной. Переменная...
-
Становление и развитие эконометрического метода на методах вычислительной статистики: - на методах парной и множественной корреляции; - выделение тренда...
-
В большинстве случаев структурная неопределенность вызвана неполнотой знания аналитической структуры уравнений модели объекта управления. При не...
-
Оптимизационная модель административной коррупции имеет вид (4) Где b - величина взятки, s(b) - функция административной коррупции (например, увеличение...
-
Система усовершенствованных моделей позволяет удовлетворительно воспроизводить кинетику СО-токсичности ДВС при изменении нагрузки, цикловой подачи...
-
Прототипом разработанной автором системы моделей служит "точечная" модель [1], представляющая собой пространственно осредненный вариант уравнений горения...
-
Подобно предыдущему обозначим. Тогда аналогичные рассуждения приводят к соотношению . (1.10) Проделывая те же преобразования, что и при выводе уравнения...
-
В последние годы в эконометрической литературе большое внимание уделяется исследованию рядов динамики временных показателей. Разнообразные содержательные...
Авторегрессионные модели со скользящими средними в остатках (ARMA(p, q)-модели) - Динамические ряды