Авторегрессионные модели со скользящими средними в остатках (ARMA(p, q)-модели) - Динамические ряды

Представление процесса типа МА в виде процесса авторегрессии неэкономично с точки зрения его параметризации. Аналогично процесс AR не может быть экономично представлен с помощью модели скользящего среднего. Поэтому для получения экономичной параметризации иногда бывает целесообразно включить в модель как члены, описывающие авторегрессию, так и члены, моделирующие остаток в виде скользящего среднего. Такие линейные процессы имеют вид

T = 1t1 +...+ Ptp + T 1t1 ... Qtq (2.30)

И называются процессами авторегрессии скользящего среднего порядка (p, q)(ARMA(p, q)).

Стационарность и обратимость ARMA(p, q)-процессов. Записывая процесс (2.30) в виде

(2.31)

Где, можно провести анализ стационарности (2.31) по той же схеме, что и для AR(p)-процессов. При этом различие "остатков" и Е никак не повлияет на выводы, определяющие условия стационарности процесса авторегрессии. Поэтому процесс (2.30) является стационарным тогда и только тогда, когда все корни характеристического уравнения AR(p)-процесса лежат вне единичного круга.

Аналогично, обозначив и рассматривая процесс (2.30) в виде

,

Получаем те же выводы относительно условий обратимости этого процесса, что и для процесса МА(q): для обратимости ARMA(p, q)-процесса необходимо и достаточно, чтобы все корни характеристического уравнения МА(q)-процесса лежали бы вне единичного круга.

Автокорреляционная функция анализируется аналогично, тому как это делалось для AR - и МА-процессов, что позволяет сделать следующие выводы.

    1) Из соотношений () = 1( 1) +...+ P( p) + () 1( 1) ... Q( q), (где (k) = E(Tkt) "перекрестная" ковариационная функция последовательностей T и T) для = 0, 1,..., q следует, что ковариации (0), (1),..., (q) и, соответственно, автокорреляции r(1),..., r(q) связаны определенной системой зависимостей с q параметрами скользящего среднего 1,..., Q и p параметрами авторегрессии 1,..., P. При этом перекрестные ковариации (), ( 1),..., ( q) при положительных значениях сдвига по времени равны нулю, а при отрицательных тоже могут быть выражены в терминах параметров 1,..., P,1,..., Q с помощью следующего приема: пусть k > 0; тогда (k) = E(Tkt); в произведении Tkt с помощью (k + 1)-кратной последовательной подстановки первого сомножителя по формуле (2.30) он заменяется линейной комбинацией T1, элементов белого шума и параметров модели, что после применения к получившемуся произведению операции усреднения E дает выражение, зависящее только от параметров модели (поскольку E(T1t) = 0). 2) Значения автокорреляционной функции r() для q + 1 вычисляются по рекуррентному соотношению r() = 1R( 1) + 2R( 2) +...+ PR( p) при q + 1, которое в точности повторяет аналогичное рекуррентное соотношение (2.24) для автокорреляционной функции процесса AR(p). Это значит, что, начиная с = q + 1, автокорреляционная функция процесса ARMA(p, q) ведет себя так же, как и автокорреляционная функция процесса AR(p), т. е. она будет состоять из совокупности затухающих экспонент и (или) затухающих синусоид, и ее свойства определяются коэффициентами 1,..., P и начальными значениями r(1),..., r(p).

Частная автокорреляционная функция процесса ARMA(p, q) при больших ведет себя как частная автокорреляционная функция МА(q)-процесса. Это значит, что в ней преобладают члены типа затухающих экспонент и (или) затухающих синусоид (соотношение между теми и другими зависит от порядка скользящего среднего q и значений параметров процесса).

Спектральная плотность процесса ARMA(p, q) может быть вычислена с помощью соотношения:

Идентификация процесса ARMA(p, q) базируется (так же как и AR-и МА-моделях) на статистическом оценивании параметров модели с помощью метода моментов. Процедура оценивания параметров K (k = 1, 2,..., p), J (j = 1, 2,..., q)и разбивается на два этапа. На 1-м этапе получаются оценки параметров K, на 2-м оценки параметров J и.

1-й этап. Параметры автокорреляционной составляющей модели (2.30) удовлетворяют системе линейных уравнений:

(2.32)

Подставляя в (2.32) вместо r(k) их выборочные значения и решая получившуюся систему относительно J (j = 1,..., p), получаем оценки.

2-й этап. Подставляя полученные оценки в (2.30) получаем набор из q + 1 соотношений:

Эта система позволяет получить нелинейные зависимости, связывающие искомые параметры, 1,..., Q с автоковариациями и построенными на 1-м этапе оценками.

Похожие статьи




Авторегрессионные модели со скользящими средними в остатках (ARMA(p, q)-модели) - Динамические ряды

Предыдущая | Следующая