Аналитические преобразования вероятностных и стоимостных характеристик полумарковской модели - Стохастическая полумарковская модель

Стоимостные характеристики полумарковской модели

Введем следующие обозначения:

Пусть

Тогда

Пусть

Тогда

Если изменяется от до то изменяется от.

В интересах дальнейшего исследования проблемы оптимального управления запасом в рассматриваемой полумарковской модели необходимо провести аналитические преобразования полученных интегральных представлений для вероятностных характеристик для всех указанных выше множеств индексов. Данные преобразования заключаются в перемене порядка интегрирования. Таким образом, после преобразований во всех указанных характеристиках внутреннее интегрирование должно проводиться по мере, задаваемой распределением а внешнее - по мере, задаваемой распределением Такие преобразования позволят обосновать основные

( рис.1)

Теоретические утверждения данного исследования, которые будут получены в следующем разделе работы.

Приведем общую характеристику выполняемых преобразований. Область интегрирования S определяется как множество значений аргументов, удовлетворяющих условиям (i - фиксированное):

Эта область геометрически представляет собой параллелограмм на плоскости. Данный параллелограмм имеет два варианта возможного устройства., определяемые соотношением вспомогательных параметров

Если, то область имеет вид, изображенный на рис.1

(рис.2)

В этом случае область разбивается на три подобласти

Если, то область S также разбивается на три подобласти следующим образом

Таким образом, при проведении интегральных преобразований необходимо учитывать соотношение вспомогательных параметров и характер соответствующей области интегрирования.

Проведем интегральные преобразования для каждого вида вероятностных характеристик исследуемой модели:

Рассмотрим средние характеристики функционала прибыли:

Проведем преобразования интегральных выражений в правых частях соотношений (1) - (4), связанные с изменением порядка интегрирования.

Преобразуем интеграл (1). Остальные интегралы будут преобразованы аналогично.

Рассмотрим структуру области интегрирования в формуле (1).

Первый вариант преобразования:

Область разбивается на три подобласти

Тогда

Второй вариант преобразования:

Область разбивается на три подобласти

Таким образом, в данном случае

Вероятностные характеристики полумарковской модели.

Рассмотрим средние характеристики условных вероятностей.

Преобразуем первую формулу

Если, то

Если, то

Рассмотрим средние характеристики математических ожиданий:

Преобразуем первую формулу

Если, то

Если, то

Аналитические преобразования модели в случае дефицита продукта

Теперь рассмотрим состояние модели в случае образования дефицита продукта. Как было сказано раньше, средние характеристики функционала прибыли в этом случае будут иметь вид:

Данные формулы необходимо преобразовать, проведя в них изменение порядка интегрирования.

Введем обозначения

Заметим, что

Как и в предыдущем случае рассмотрим область S.

Вариант 1.

Область S разбивается на три подобласти (рис.1)

(рис.1)

Тогда

(рис. 2)

Вариант 2.

Область S разбивается на три подобласти (рис.2)

В этом случае

Проведем аналогичные вычисления для условных вероятностей и математических ожиданий.

В первом случае получим

Во втором случае получим

Таким образом, мы получили аналитическое представление формул для основных характеристик модели.

Похожие статьи




Аналитические преобразования вероятностных и стоимостных характеристик полумарковской модели - Стохастическая полумарковская модель

Предыдущая | Следующая