Вычисление показателей простейшей очереди - Решение исследовательских задач

При формулировании задачи важную роль играет дисциплина очереди, здесь рассматривается следующая: требование приходит в систему и дожидается обслуживания, а например, не уходит, если очередь велика, и, кроме того, каждое требование обслуживается в свою очередь без каких-либо приоритетов.

Отношение л/м = с - загрузка системы (коэффициент загрузки).

Расчетные формулы для системы М/М/1 имеют следующий вид:

Вероятность того, что обслуживающий прибор свободен,

Р0 =1 - с. (5.3)

Среднее число требований в системе (находящихся в очереди и на обслуживании)

E(n) = с/(1 - с); (5.4)

Среднее время ожидания обслуживания

E(t) = с/[м(1 - с)]; (5.5)

Средняя длина очереди, ожидающей обслуживания,

E(no) = с2/(1 - с); (5.6)

Среднее время, проведенное требованием в системе,

E(tc) = 1/[м(1 - с)]. (5.7)

Пример 1. Требования поступают на обслуживающее устройство (в кассу магазина для оплаты покупок) случайно, причем средний промежуток времени между поступлениями требований равен 1,0 мин, среднее время обслуживания - 0,8 мин. Определить: среднее число требований в системе; среднее время ожидания обслуживания; среднюю длину очереди, ожидающей обслуживания; среднее время; проведенное требованием в системе; вероятность отсутствия требований в системе, если она состоит из одного прибора и имеет пуассоновский входящий поток и экспоненциальное время обслуживания (М/М/1).

Решение. Так как средний промежуток времени между поступлениями требований известен: mt пост = 1 мин, то среднее число покупателей, приходящих к кассе для расчета за покупки в течение 1 мин,

Л = 1/mt пост; л = 1/1 = 1 покупатель/мин.

Поскольку среднее время обслуживания mt обсл = 0,8 мин, то среднее число покупателей, обслуживаемых в 1 мин,

М = 1/mtобсл ; м = 1/0,8 = 1,25,

Т. е. в среднем кассир обслуживает более одного покупателя в минуту.

Тогда вероятность простоя системы (в данном случае кассы и кассира)

Р0 = 1 - с; Р0 = 1 - 0,8 = 0,2,

Т. е. 20 % рабочего времени система простаивает.

Среднее число покупателей в системе (стоят в очереди плюс один рассчитывается за покупку)

E(n) = с/(1 - с); E(n) = 0,8/(1 - 0,8) = 4 покупателя.

Среднее время ожидания в очереди

E(t) = с/м(1 - с); E(t) = 0,8/(1,25?0,2) =3,2 мин.

Средняя длина очереди, ожидающей обслуживания,

E(n0) = с2/(1 - с); E(n) = 0,82/ (1 - 0,8) = 3,2 покупателя.

Т. е., как правило, немногим больше трех покупателей стоят в очереди.

Среднее время, проведенное покупателем в системе, ожидая сначала в очереди, а потом и собственно своего обслуживания кассиром,

E(tc) = 1/м(1 - с); E(tc) = 1/[1,25?(1 - 0,8)] = 4 мин.

Пример 2. При этих же условиях задачи рассматривается ситуация: добавлен еще один кассовый аппарат с кассиром при тех же условиях: все покупатели стоят в одной очереди и, как только один из кассиров освобождается, первый из стоящих в очереди поступает к нему на обслуживание (т. е. имеет место система М/М/2). Как изменятся первые три основных показателя?

Решение. Вероятность простоя системы

Р0 = (2 - с)/ (2 + с); P0 = (2 - 0,8)/(2 + 0,8) = 0,43,

Т. е. 43 % рабочего времени кассиры будут простаивать.

Среднее число требований в системе

E(n) = 2с/(4 - с2); E(n) = 2?0,8/(4 - 0,82) = 0,48,

Т. е. практически очереди нет.

Среднее время ожидания обслуживания

E(t) = с2/[м(4 - с2)]; E(t) = 0,82/ 1,25(4 - 0,82) = 0,15 мин.

При увеличении числа обслуживающих приборов на единицу практически не стало очереди и покупателям не приходится терять время в ней.

Модели М/М/m (здесь m - число обслуживающих приборов) можно использовать в любых случаях, нужно только помнить, что они дают завышенные показатели при одних и тех же значениях л и м, когда законы распределения величин, формирующих случайные потоки, более упорядочены.

Похожие статьи




Вычисление показателей простейшей очереди - Решение исследовательских задач

Предыдущая | Следующая