Проверка однородности выручки, получаемой от российского экспорта основных видов продукции - Решение исследовательских задач

Для оценки однородности средних значений независимых нормально распределенных величин, дисперсии которых равны (однородны), но неизвестны, может быть использован критерий Аббе, статистика которого задается отношением

. (1.18)

Проверяется нуль-гипотеза Н0: m*1(x) = m*2(x) = m*3(x) = m*4(x) при альтернативе Н1: |m*i+1 (x) - m*i (x)| > 0.

Если найденное значение q-статистики превышает критическое, то гипотеза о равенстве средних отвергается.

Пример 1. Требуется проверить гипотезу об однородности вкладов, приведенных в табл. 7, видов продукции в выручку от экспорта (данные по четырем федеральным округам РФ) в предположении, что известны только mi*(x) - средние значения выручки [17], а другой информации нет.

Таблица 7 - Экспорт некоторых видов продукции России в 2000 г. по федеральным округам, млн долл

Федеральные

Округа

Нефтехимические товары

Черные и цветные металлы

Машиностроительная продукция

Древесина и изделия из нее

Северо-западный

3,0

2,3

1,5

1,6

Южный

1,6

0,6

0,4

0,0

Сибирский

2,3

5,7

0,5

1,0

Дальневосточный

1,0

0,3

0,6

0,5

M*i (x)

1,98

2,23

0,75

0,78

D*i (x)

0,7

6,1

0,3

0,5

Значения средних представляют в виде вариационного ряда: 0,75; 0,78; 1,98; 2,23, со средним 1,43 и вычисляют q-статистику:

В соответствии с табл. 6 приложения значение q-статистики при n = 4 уровне значимости б = 0,05 составляет qкр = 0,3902 < q = 0,41, поэтому гипотеза о равенстве средних отвергается.

Следовательно, вклад в экспортную выручку различных видов продукции по указанным районам неодинаков: на первом месте - нефтехимические товары, на втором - черные и цветные металлы, и так далее.

Однако при вычислении q-статистики Аббе используется не вся информация об объектах, поэтому для парного сравнения средних используют критерий Стьюдента (табл. 7 приложения), тогда его статистика:

(1.19)

Где - исследуемые средние значения; D*(x3), D*(x4) - оценки дисперсий случайных величин; n, m - объемы выборок; (n - 1), (m - 1) - числа степеней свободы оценок дисперсий.

Проверяется нулевая гипотеза Н0: при альтернативной Н1: при условии однородности оценок дисперсий и нормального распределения X и Y. Нулевая гипотеза отвергается, если |tнабл.| > tдвуст. кр (б/2; k), где - уровень значимости, k - число степеней свободы, k = n + m - 2.

Пример 2. Оценить с помощью t-критерия однородность средних значений экспортной выручки для трех вариантов:

    1) от машиностроительной продукции и древесины и изделий из нее при выполнении условия однородности оценок D*(x3) и D*(x4); 2) от нефтехимических товаров, черных и цветных металлов; 3) от нефтехимических товаров и древесины и изделий из нее.

Решение. 1. В соответствии с формулой

Найденное значение t-статистики меньше критического (табл. 7, приложения);

Tнабл.= 0,07 < tдвуст. кр (0,1/2; 6) = 1,9432,

Поэтому гипотеза о равенстве выручки по четырем районам РФ от машиностроительной продукции и от древесины и изделий из нее не отвергается.

2. Прежде, чем вычислить значение t-статистики для второго варианта, необходимо проверить однородность оценок дисперсий c помощью F-статистики (табл. 10 приложения):

Т. е. оценки дисперсий для исследуемых товаров X1 и X2 неоднородны, t-критерий не позволяет решать задачу об однородности m*(x1) и m*(x2).

3. Здесь очевидно, что оценки дисперсий однородны, значение t-статистики

,

Поскольку tнабл. = 2,19 > tдвуст. кр (0,1/2; 6) = 1,9432 (табл. 7 приложения). Средние значения товаров X1 и X4 неоднородны, экспортная выручка от товаров нефтехимии больше, чем от древесины и изделий из нее. Все это согласуется с результатом, полученным при использовании критерия Аббе, который дает положительный ответ по поводу однородности средних значений только в случае, когда все средние однородны, но, если хотя бы одно значение неоднородно с каким-либо другим, то и ответ будет отрицательным.

Однородность средних для зависимых выборок проверяется с помощью d-статистики. Проверяется нулевая гипотеза

Н0 : М*(X) = M*(Y) при конкурирующей Н0: М*(X) ? M*(Y).

Пример 3. Средний балл успеваемости группы ИЭ-00 по математике в первом семестре по результатам экзаменационной сессии составил 3,43, во втором - 3,52, в третьем - 3,65, в четвертом - 3,74. Оценить однородность средних баллов, полученных студентами группы ИЭ-00 в 1-м и 4-м семестрах по математике во время экзаменационных сессий (табл. 8).

Таблица 8 - Баллы, полученные студентами группы ИЭ-00 по математике в 1-м и 4-м семестрах

Семестр

Балл

1

3

3

3

3

3

4

3

3

3

5

3

4

3

4

3

3

3

5

4

4

3

3

4

4

4

3

3

3

4

5

3

3

4

4

3

4

3

4

4

3

3

5

4

5

4

3

5

Решение. Выборки зависимы, так как баллы 1-го и 4-го семестров в каждом столбце получены одним и тем же студентом и в силу этого являются попарно зависимыми.

Вычисляется среднее значение разностей баллов

D* = Уdi /n,

Где di = xi - yi; xi, yi - баллы студентов, полученные ими в 1-м и 4-м семестрах соответственно, n - число студентов в группе.

D1 = 3 - 4 = - 1; d2 = 3 - 3 = 0;...; d5 = 3 - 4 = - 1;

D6 = 4 - 5 = - 1;...; d9 = 3 - 4 = - 1; d10 = 5 - 4 = 1;

D15 = 3 - 4 = - 1;...; d20 = 4 - 5 = - 1; d21 = 3 - 4 = - 1;

D22 = 3 - 3 = 0; d23 = 4 - 5 = -1.

Уdi = - 1 - 1 - 1 - 1 + 1 - 1 -1 - 1 - 1 = - 7;

D* = -7 / 23 = - 0,304.

Сумма квадратов разностей

Уd2i = (-1)2 + (-1)2 +(-1)2 + (-1)2 + (+1)2 + (-1)2 +(-1)2 + (-1)2 + (-1)2 = 9.

Среднее квадратическое отклонение разностей

Sd = Sd =

Наблюденное значение Т-статистики

Тнабл = d*n0,5/Sd = - 0,304?230,5/0,559 = - 2,6081.

Поскольку абсолютное значение Т-статистики больше, чем критическое значение tдвуст. кр.(0,10; 32) = 1,70 (табл. 7 приложения), средние баллы 1-го и 4-го семестров неоднородны, поэтому можно считать, что от 1-го к 4-му семестру имеет место небольшое, но значимое повышение успеваемости.

Похожие статьи




Проверка однородности выручки, получаемой от российского экспорта основных видов продукции - Решение исследовательских задач

Предыдущая | Следующая