Оценка существенности влияния двух факторов и их взаимодействия на показатели маркетинга - Решение исследовательских задач

Модель двухфакторного дисперсионного анализа имеет вид

, (2.7)

Где уijk - значение признака у, когда фактор А находится на i-м уровне, фактор В - на j-м уровне при k-м повторении опыта; м - среднее значение признака по результатам всех опытов; Аi - влияние на изменчивость признака фактора А, когда он находится на i-м уровне (эффект фактора А); Вj - эффект фактора В; АiВj - эффект взаимодействия факторов А и В, когда фактор А находится на i-м уровне, а фактор В - на j-м уровне; еijk - эффект ошибки эксперимента и действия неучтенных факторов.

В случае двухфакторного дисперсионного анализа полная дисперсия, обуславливающая изменчивость признака в серии опытов, дифференцируется на составляющие ее дисперсии, обусловленные варьированием независимых случайных переменных (факторов), ошибкой эксперимента и действием неучтенных факторов.

Пример 1. Оценить существенность влияния двух факторов (А - местонахождение пункта продаж автомобилей, В - время, месяц, год) на формирование цены подержанных легковых автомобилей. Данные приведены в табл. 16.

Решение. Вычисляют оценки математических ожиданий и дисперсий по группам наблюдений:

(2.8)

Оценка математического ожидания признака - цены подержанного легкового автомобиля, когда факторы А и В находятся на первом уровне (первый уровень фактора А - местонахождение пункта продаж - Минск, первый уровень фактора В - ноябрь 2000 г.)

Оценка дисперсии

Оценка математического ожидания цены подержанного легкового автомобиля, когда местонахождение пункта продаж - Минск (первый уровень фактора А), а событие происходит в июле 2001 г. (второй уровень фактора В)

Оценка дисперсии цены

Оценка математического ожидания цены, когда местонахождения пункта продаж - Москва (второй уровень фактора А), а распродажа осуществлялась в ноябре 2000 г. (первый уровень фактора В)

Оценка дисперсии цены

Оценка математического ожидания цены, когда факторы А и В находятся на втором уровне (пункт продажи - Москва, событие совершалось в июле 2001 г.)

Оценка дисперсии

Проверка однородности оценок дисперсий осуществляется с помощью критерия Кокрена, вычисляется значение G-статистики:

Поскольку при уровне значимости б = 0,05, четырех независимых оценках дисперсий (k = 4) и равных числах степеней свободы оценок дисперсий f = 3 критическое значение Gкр(0,05;4;3) = = 0,7814 > Gнабл.= 0,287 (табл. 11 приложения), то гипотеза об однородности оценок дисперсий не отвергается. Дисперсионный анализ можно проводить, так как с достаточно высоким уровнем доверительной вероятности можно предположить, что неучтенные факторы и ошибка эксперимента существенно не повлияли на цену подержанных легковых автомобилей ни в Минске, ни в Москве, ни осенью, ни летом.

Таблица 16 - Влияние фактора А - местонахождения пункта продаж и фактора В - времени года на цены подержанных легковых автомобилей

Уровень, сумма фактора В

Уровень фактора А

1

2

1

5,0

6,8

3,1

4,1

2,3

5,0

4,1

5,1

У1у

14,5

21

35,5

35,52 = 1260,25

(У1у)2

210,25

441

170,77

2

5,3

7,2

2,8

4,2

3,4

5,4

3,8

5,4

У2у

15,3

22,2

37,5

37,52 = 1406,25

(У2у)2

234,09

492,84

189,73

29,8

43,2

73,0

888,04

1866,24
    2666,50 2754,28

118,64

241,86

360,5

M*11=3,625 D*11=1,39

M*12= 5,25 D*12= 1,27

M*21=3,825 D*21=1,14

M*22= 5,55 D*22= 1,53

Вычисление сумм, представленных в табл. 16, производилось следующим образом.

Суммы для первого уровня фактора В:

У11у = 5,0 + ...+ 4,1 = 14,5; У12у = 6,8+ ... + 5,1 = 21;

; ;

(У11у)2 = 14,52 = 210,25; (У12у)2 = 212 = 441;

Суммы для второго уровня фактора В:

У21 у = 5,3 + ... + 3,8 = 15,3; У22 у = 7,2 + ...+ 5,4 = 22,2;

; ;

(У21 у)2 = 15,32 = 234,09; (У22 у)2 = 22,22 = 492,84;

;

Далее рассчитаем суммы по уровням фактора А:

;

Сделаем промежуточную проверку

т. е. 29,8 + 43,2 = 35,5 + 37,5 = 73.

; ; ;;;

;

;

Последняя сумма дает проверку правильности вычислений, так как должно иметь место равенство

Считаем суммы, входящие в формулы для определения суммарных квадратов:

;

;

;

;

Полный суммарный квадрат

=

Суммарный квадрат, характеризующий эффект фактора В - времени года,

=

Суммарный квадрат, характеризующий эффект фактора А - местонахождения пункта продаж,

Суммарный квадрат эффекта взаимодействия

;

Суммарный квадрат, характеризующий ошибку эксперимента и действие неучтенных факторов,

;

Оценки дисперсий, соответствующие суммарным квадратам,

; (2.9)

Где f - число степеней свободы дисперсии.

При общем числе наблюдений

N = abn = 2?2?4 = 16,

Здесь а - число уровней фактора А, а = 2; b - число уровней фактора В, b = 2; n - число повторений опытов на каждом уровне, n = 4.

F0 = N - 1 = 16 - 1 = 15; f1= b - 1 = 2 - 1 = 1;

F2 = a - 1 = 2 - 1 = 1; f3 = (b - 1)(a - 1) = (2 - 1)(2 - 1) = 1;

F4 = ab(n - 1) = 2?2(4 - 1) = 12.

Оценки полной дисперсии и дисперсий, характеризующих изменчивость признака по всем наблюдениям,

; ; ;

;

Существенность оценок дисперсий проверяют на фоне ошибки эксперимента и действия неучтенных факторов при нулевой гипотезе Н0: S2(y) > S24 (y) и конкурирующей Н1: S2 ? S24(y), используя критерий Фишера:

,

Т. е. нуль-гипотезу отвергают при уровне значимости б = 0,05 и числах степеней свободы f1 = 1 и f4 = 12, принимается конкурирующая гипотеза (фактор времени года незначим).

Т. е. фактор местонахождения пункта продажи автомобилей существенно влияет на цену.

Т. е. эффект взаимодействия факторов (местонахождения пункта продаж автомобилей и времени года) незначим.

Пример 2. Оценить наличие динамики роста продаж колбасных изделий (фактор А) за счет совершенствования этой сферы маркетинга и влияние разновидности колбасы (фактор В) на объем продаж (тыс. кг) в 2000 г. (табл. 17).

Уровни фактора А: 1. Январь, февраль, март; 2. Октябрь, ноябрь, декабрь; уровни фактора В: 1. Вареные колбасы; 2. Сардельки. Округленные данные взяты из источника [18].

Таблица 17 - Исходные данные и расчет показателей для определения существенности факторов и их взаимодействий

Уровень

Фактора В

Уровень фактора А

1

2

1

40,5

67,6

40,2

67,3

43,6

73,8

124,3

208,7

333

110889

15450,5

43555,7

19702,7

2

5,6

10,0

6,1

10,6

7,0

10,1

18,7

30,7

49,4

2440,4

349,7

942,5

432,0

143,0

239,4

382,4

20449

57312,4
    113329,4 77761,4

5274,8

14859,9

20134,7

Решение. Выполним проверку однородности оценок дисперсий по уровням факторов с помощью критерия Кокрена, для этого определим оценки параметров для соответствующих выборок по табл. 18.

Таблица 18 - Параметры выборок по уровням факторов

Параметр

A1B1

A1B2

A2B1

A2B2

Сумма

M*i (y)

41,4

6,2

69,6

10,2

-

D*i (y)

3,54

0,503

13,46

0,103

17,61

Рассчитаем суммы для первого уровня фактора В:

У11y = 40,5 + 40,2 + 43,6 =124,3; У12y = 67,6 + 67,3 + 73,8 = 208,7;

(У11y)2 = 124,32 = 15450,5; (У12y)2 = 208,72 = 43555,7;

Рассчитаем суммы для второго уровня фактора В:

У21y = 5,6 + 6,1 + 7,0 = 18,7; У22y = 10,0 + 10,6 + 10,1 = 30,7;

(У21y)2 = 18,72 = 349,7; (У22y)2 = 30,72 = 942,5;

Рассчитаем суммы по уровням фактора А:

;

По формуле (1.20) вычисляем значение G-статистики:

Gнабл = 13,46 / (3,54 + 0,503 + 13,46 + 0,103) = 0,764 < Gкр (0,05; 4; 2) = 0,7679.

Поскольку оно меньше критического при уровне значимости б = 0,05, числе исследуемых оценок дисперсий, равном четырем, числах степеней свободы каждой из оценок дисперсий, равных двум, гипотеза об однородности оценок не отвергается [3, табл. 3.4 б]. Дисперсионный анализ можно проводить, поскольку существенного влияния на признак неучитываемые факторы не оказывали.

Рассчитаем суммы, входящие в формулы для определения суммарных квадратов:

= (143,0 + 239,4)2 = 382,42 = 146229,8; = 20134,7; 3332 + 49,42 =

= 113329,4; = 1432 + 239,42 = 77761,4;

= 15450,5 + 43555,7 + 349,7 + 942,5 = 60298,4;

Полные суммарные квадраты, характеризующие отклонение признака от общей средней, отклонение признака от воздействия фактора А - совершенствования системы маркетинга, отклонение признака от воздействия фактора В - разновидности колбасной продукции, изменчивость признака от взаимодействия факторов А и В, а также суммарный квадрат, характеризующий ошибку эксперимента и действие неучтенных факторов будут иметь следующие значения:

Q0 = 20134,7 - 146229,8 / 12 = 7948,9;

Q1 = (113329,4 / 3М2) - 146229,8 / 12 = 6702,4;

Q2 = (77761,4 / 3М2) - 146229,8 / 12 = 774,4;

Q3 = (60298,4 / 3) - (113329,4 / 3М2) - (77761,4 / 3М2) + (146229,8 / 12) = 436,9;

Q4 = 20134,7 - 60298,4 / 3 = 35,2.

Сделаем проверку: Q0 = Q1 + Q2 + Q3 + Q4.

7948,9 = 6702,4 + 774,4 + 436,9 + 35,2.

Числа степеней свободы оценок дисперсий имеют следующие значения:

F0 = N - 1 = 12 - 1 = 11; f1 = b - 1 = 2 - 1 = 1; f2 = a - 1 = 2 - 1 = 1;

F3 = (a -1)(b - 1) = (2 - 1)(2 - 1) = 1; f4 = ab(n - 1) = 2?2(3 - 1) = 8.

Оценки дисперсий соответственно полной, характеризующей отклонение признака от воздействия фактора А - совершенствования системы маркетинга; характеризующей отклонение признака от воздействия фактора В - разновидности колбасной продукции; характеризующей изменчивость признака от взаимодействия факторов А и В; характеризующей ошибку эксперимента и действие неучтенных факторов следующие:

Проверим значимость оценок дисперсий с помощью критерия Фишера (табл. 10 приложения):

Оценим дисперсию роста продаж колбасных изделий в 2000 г. за счет динамичного развития этой сферы маркетинга по формуле

Оценим дисперсию, характеризующую влияние разновидности изделия на рост объема продаж:

Оценим дисперсию, характеризующую влияние эффекта взаимодействия факторов А и В (динамичного развития сферы маркетинга в части продаж колбасных изделий и разновидности изделий):

Оценим полную дисперсию изменчивости признака:

Оценим вклад фактора А в изменчивость признака:

Оценим вклад фактора В в изменчивость признака:

Оценим вклад эффекта взаимодействия в изменчивость признака:

Оценим вклад ошибки эксперимента и действия неучтенных факторов в изменчивость признака:

Таким образом, месячный объем продаж колбасных изделий в 2000 г. более чем на 84 % был обусловлен совершенствованием исследуемой сферы маркетинга в течение года, более чем на 9 % - приемлемым для покупателей ассортиментом, почти на 6 % - их взаимодействием при ошибке расчетов из-за неучтенных факторов и погрешностей эксперимента, составляющей менее одного процента.

Похожие статьи




Оценка существенности влияния двух факторов и их взаимодействия на показатели маркетинга - Решение исследовательских задач

Предыдущая | Следующая