Линейные блоковые коды - Кодек каскадного кода Хэмминга

Код называется групповым, если кодовые комбинации образуют некоторую подгруппу группы всех последовательностей длиной n

Линейные коды задаются с помощью порождающей матрицы G размерностью k*n и проверочной матрицы H размерностью r*n.

Матрицы между собой связаны уравнением:G*HT=0.

В качестве строк матрицы G выбираются линейно-независимые слова длиной n, отстоящие друг от друга на заданное кодовое расстояние d.

Так как линейно независимые векторы могут быть выбраны произвольным образом, то можно построить множество матриц G с одним и тем же кодовым расстоянием d.

Линейно независимые векторы инвариантны относительно двух операций, при выполнении которых минимальное расстояние кода не изменяется.

Так как линейно независимые векторы можно выбрать произвольно, то можно построить множество различных матриц G с одним и тем же кодовым расстоянием. Такие матрицы называются эквивалентными. Такие коды различаются различными проверочными символами при одинаковых информационных. С точки зрения алгебры, в проверочной матрице можно переставлять местами строки и столбцы и заменять i-ю строку на сумму i-й и j-й. Применяя эти операции можно привести матрицу G к приведено-ступенчатому виду:

Где Ik - единичная матрица размерности k.

Таким образом, проверочная матрица будет иметь вид

Имея порождающую матрицу такого вида, для кодирования информационного слова А размерности k необходимо умножить вектор-строку А на порождающую матрицу G:

Проверочную матрицу Н возможно задать несколькими способами. Она должна содержать все ненулевые двоичные числа длины r. Наиболее часто используется метод с использованием элементов поля Галуа. Для формирования поля выбирается минимальный полином необходимой степени. На основе выбранного полинома записываются все элементы поля Галуа. Затем, записав коэффициенты степеней в таблицу, получим матрицу, которую затем, используя разрешенные алгебраические преобразования, доведем до приведено-ступенчатому вида [3].

Похожие статьи




Линейные блоковые коды - Кодек каскадного кода Хэмминга

Предыдущая | Следующая