Постановка задачи - Анализ системы уравнений Сен-Венана аналитическими и численными методами

Важной задачей гидравлики открытых потоков является построение и изучение математической модели движения жидкости, которая позволяет осуществить расчет и прогноз основных характеристик речного стока. Движение потока в открытом русле в общем случае является неустановившемся и характеризуется изменением во времени параметров потока в любом створе. Значительный интерес для практических целей представляет расчет величин расхода и уровня воды в русле реки.

Рассмотрим систему дифференциальных уравнений Сен-Венана для неустановившегося плавно изменяющегося движения жидкости, которая представляет собой объединение уравнений неразрывности

,(1.1)

И динамического равновесия [1]:

,(1.2)

При заданных начальных

, , (1.3)

И граничных условиях

, ,(1.4)

, (1.5)

Где - время, , , - пространственная координата, ориентированная по направлению движения, , , - границы рассматриваемого бесприточного участка реки, - уклон дна русла, - ускорение свободного падения, - ширина русла, - расходная характеристика русла, - глубина русла, - средняя скорость воды в сечении русла в точке в момент времени, - расход воды в указанном сечении.

Члены уравнения (1.2) при различных условиях движения жидкости имеют различную относительную значимость [2]. Анализ паводков показывает, что даже при значительном изменении во времени и по длине реки скорости потока в период прохождения паводка величина двух первых членов в уравнении (1.2) не превышает 10-5. В то же время, величины уклонов дна и трения для рек горных и предгорных районов составляют, примерно, 10-3, например, известно, что уклон дна реки Кубань в предгорной зоне превышает эту величину. Поэтому при исследовании и прогнозировании паводковых ситуаций в руслах горно-равнинных рек можно не учитывать в (1.2) инерционные члены, рассматривая систему уравнений Сен-Венана в виде:

,(1.6)

.(1.7)

Этот факт следует учитывать при построении и изучении математических моделей потока воды в руслах горно-равнинных рек.

В работе Ж. А. Кюнжа, Ф. М. Холли, А. Вервея [2] указана возможность использования упрощенной системы уравнений Сен-Венана при исследовании и прогнозировании паводковых ситуаций, а также рассмотрено приведение системы (1.1) - (1.2) к уравнению конвекции-диффузии. Однако, в предлагаемой модели не учтена зависимость глубины потока от времени и не описаны методы и алгоритмы решения полученного уравнения. Поэтому цель нашей работы - предложить метод аналитического решения системы уравнений (1.6) - (1.7), указать условия применимости предлагаемого метода, разработать алгоритм численного решения рассматриваемой системы методом расщепления, выполнить расчеты характеристик потока по указанным методам на участках русла реки Кубань.

Похожие статьи




Постановка задачи - Анализ системы уравнений Сен-Венана аналитическими и численными методами

Предыдущая | Следующая