Многомерный анализ сингулярного спектра (MSSA) - Определение геоцентра из SLR

Сингулярный спектральный анализ является подходом к исследованию состава сигнала, так же именуемым методом "гусеницы-ССА". Разложив сигнал по эмпирическим ортогональным функциям, метод позволяет выделить основные составляющие. Этот метод обобщает метод главных компонент для временных рядов и допускает обобщение на многомерные ряды.

Алгоритм ССА. Пусть сигнал представлен временным рядом f(tk), которые содержат N отсчетов. Выполнение метода происходит в четыре этапа: первые два - для разложения, другие - для восстановления.

1) Сначала выбирается число L и формируется траекторная матрица. Столбцы матрицы {xi} - это векторы последовательно выбранные из временного ряда, размерность которых L:

Количество строк траекторной матрицы - L, столбцов K = N - L + 1.

2) Далее выполняется сингулярное разложение траекторной матрицы:

X=USVT, (6)

Где S - диагональная матрица, имеющая размерность LxK. Сингулярные числа si расположены на главной диагонали матрицы Х. Столбцы матрицы U (размерность LxL) - правые векторы, которые образуют базис пространства, порожденного столбцами X и называется первым сингулярным базисом. Столбцы матрицы V (размерность KxK) - левые вектора и называются вторым сингулярным базисом.

A = XTX = (USVT)TUSVT = VSTSVT (7)

Из разложения квадратной матрицы видно, что i = si2 - собственные числа, vi - собственные вектора, они являются строками матрицы поворота VT.

3) Если S содержит d положительных сингулярных чисел si, то ранг X равен d и можно сопоставить тройку (si, ui, vi) каждому сингулярному числу.

Xi = siuiviT (8)

В этой компоненте разложения ui=Xvi/si. При проведении вычислений с ковариационной матрицей А для получения Xi сначала выполняется проектирование Х на векторы vi, затем свертка результата с этими векторами.

После группировки специальным образом тройки, которые получены при сингулярном разложении, исходную матрицу можно представить в следующем виде:

Где XIl = Xi1 +. . .+Xip - группа, содержащая компоненты с индексами

Il = {i1, . . . , ip}. Все множество {1, 2, . . . , d} разбивается на непересекающиеся подмножества и в них осуществляется группировка.

4) После того, как сигнал сгруппирован, каждая компонента Xip будет представлять собой некоторую аддитивную компоненту f. Из матрицы Xip извлечем компоненту gIp усреднением элементов вдоль побочных диагоналей i+j = k+2. Переименовав XIl как yij и числа L*= min(L, K), K* = max(L, K) получим отсчеты gk:

Эта операция называется генкелизация (суть ее состоит в усреднении значений матрицы вдоль побочных диагоналей). Если применять ее для каждой XIp, получим представление исходного ряда в виде суммы m рядов f = (gI1, . . . , gIm), которые являются главными компонентами сигнала. [8]

Сингулярные числа нужно сгруппировывать. Эта операция осуществляется на основе выявления сходства поведения компонент во времениили их частотного состава.

Многомерный ССА легко реализуется для комплексного сигнала при этом алгоритм остается прежним. МССА является обобщением ССА на случай векторных рядов, который позволяет выделить из сигнала частотно-временные компоненты. Строится траекторная матрица Xi для каждого канала, после чего, все траекторные матрицы объединяются в блочную X = [X1,X2, . . .XN]. Зная структуру исходных матриц, легко восстановить все главные компоненты.

В геофизических исследованиях МССА называют так же расширенным методом разложения по эмпирическим ортогональным функциям.

Похожие статьи




Многомерный анализ сингулярного спектра (MSSA) - Определение геоцентра из SLR

Предыдущая | Следующая