Методологічні та програмно-алгоритмічні особливості розв'язання обернених задач - Прямі та обернені задачі гравіметрії в класі блочно побудованих геологічних моделей

Розглянуто можливості методу підбору з точки зору отримання надійних розв'язків в умовах широкої еквівалентності. Показано, що властивості розв'язків, отримуваних методом підбору, значною мірою визначаються прийнятою апроксимацією геологічного середовища. Якщо геологічне середовище апроксимувати цілісними блоками з постійною густиною, встановлюючи лише їх конфігурацію (що спрощує обчислення при аналітичному описі та забезпечує мінімальну кількість параметрів), то вплив еквівалентності на розв'язок задачі значно послаблюється. При заданих обмеженнях на шукані параметри можна отримати еквівалентну модель, якщо ж сформовано клас єдиності, то розв'язок, як показує практика, буде однозначним і залежатиме лише від моделі початкового наближення. Стійкість розв'язку визначається ефективністю алгоритму мінімізації цільової функції.

Встановлення області збіжності для конкретного модельного класу досліджувалося раніше теоретично (Є. Г. Булах, М. М. Маркова, Т. Л. Міхеєва), проте практична реалізація можлива лише за значних модельних спрощень. Без встановлення області збіжності функціоналу в результаті підбору може бути отриманий довільний еквівалентний розв'язок, залежно від вибору вихідної точки. В цій ситуації доцільним видається визначення множини еквівалентних розв'язків та подальший її аналіз з урахуванням наявної апріорної інформації та змістовних обмежень на шукані параметри.

Запропонований Алгоритм околів дозволяє отримувати множину еквівалентних моделей. Ідея алгоритму належить австралійському вченому М. Самбріджу, і виникла у зв'язку з розв'язанням сейсмічних обернених задач. Алгоритм околів грунтується на апроксимації параметричного простору функцією нев'язки, яка визначається для кожної точки простору. Для цього використовуються геометричні конструкції відомі під назвою діаграм Вороного. Оскільки кожній точці параметричного простору можна поставити у відповідність значення функції нев'язки даних, і навколо цієї точки єдиним чином можна визначити комірку Вороного, то апроксимація модельного простору здійснюється простим встановленням постійної нев'язки всередині кожної комірки. У такий спосіб D-Вимірний модельний простір єдиним чином поділяється на області (випуклі многогранники).

Сам алгоритм доволі простий і полягає в наступному:

    1. Утворити початковий ряд моделей рівномірно (або в якийсь інший спосіб) розподілених у параметричному просторі. 2. Обчислити значення функції нев'язки для утвореного ряду моделей і визначити моделей, яким відповідають найменші нев'язки. 3. Утворити нових моделей, виконуючи рівномірний випадковий крок всередині комірки Вороного кожної з вибраних моделей (тобто, моделей в кожній комірці). 4. Перейти до п. 2.

Для того, щоб реалізувати алгоритм околу, не потрібно визначати всі елементи діаграми Вороного (що було б не розв'язуваною задачею). Як видно з рис. 2, досить лише знайти точки, в яких межі D-вимірної комірки Вороного перетинають I-у вісь, що проходить через точку А. Тоді наступна варіація рівномірного випадкового кроку обмежується двома точками на осі ( та на рис. 2). Визначення точок перетину осі з межами комірки можна здійснити виходячи з геометричних міркувань.

Нехай навколо моделі (вектора) сформовано K-у комірку Вороного. Точку, в якій границя між K-ю та J-ю комірками перетинає I-у вісь позначимо, тоді за означенням маємо

.

Приймаючи, що

,

Будемо мати

,

Де - проекції векторів та на I-у вісь відповідно; - відстань від точки до біжучої I-ї осі. З останнього рівняння отримуємо

(2)

Для того, щоб знайти границі комірки Вороного, рівняння (2) має бути оцінено для всіх комірок і вибрано дві найближчі до А точки.

Більш формально, маємо нижню межу з умови

І верхню межу з умови

,

Де і - нижня і верхня межі параметричного простору в I-у напрямі відповідно.

Після здійснення циклу по всіх напрямах (координатах) створюється нова модель у параметричному просторі.

Серед інших особливостей алгоритму околів слід відзначити наступні. Наявність випадкових похибок у спостережених даних не впливає на результативність запропонованого алгоритму, оскільки функція нев'язки в даному випадку слугує не критерієм мінімізації, а є лише способом порівняння моделей. Алгоритм околів є стійким, оскільки в процесі його роботи не накопичуються обчислювальні похибки. Слід також відмітити, що при застосуванні алгоритму околів досліджується увесь параметричний простір, що виключає попадання процесу пошуку в локальний мінімум, тоді як при мінімізації функціоналу градієнтним методом найшвидшого спуску точка мінімуму залежить від початкової моделі і може виявитися точкою локального мінімуму. Результатом алгоритму околів є множина е - еквівалентних моделей, де е - наперед задана величина. Наочно продемонстровано дієвість алгоритму для дво - та тривимірного параметричного просторів.

Похожие статьи




Методологічні та програмно-алгоритмічні особливості розв'язання обернених задач - Прямі та обернені задачі гравіметрії в класі блочно побудованих геологічних моделей

Предыдущая | Следующая