Равносильные преобразования формул и логическое следование формул логики предикатов - Равносильные преобразования формул и логическое следование формул логики предикатов

Логика предикатов - раздел классической символической логики, изучающий субъектно-предикатну структуру высказываний, на основании чего определяют значения истинности высказываний; по-другому - это дедуктивная теория, которая моделирует процесс вывода одних высказываний из других, учитывая их структуру. Логику предикатов трактуют как расширение логики высказываний через выявление внутренней структуры высказываний и введение новых терминов и системы аксиом.

Логика предикатов как система создается в соответствии с общими принципами построения формальных систем. Особенность логики предикатов состоит в том, что она является более сложной и по семантике, и по синтаксису по сравнению с логикой высказываний. Различают семантику и синтаксис логики предикатов.

В семантическом аспекте определяют субъектно-предикатну структуру высказываний на содержательном уровне. Это дает возможность выявить свойства, присущие определенной совокупности эмпирических или абстрактных объектов, и ввести сроки, которые отделяют сферу действия предикатов, - высказывания, свойство, отношение, предикат, одноместный предикат, многоместный предикат, квантор общности, квантор существования, истинностное значение высказывания.

Высказыванию, в котором эмпирическом или абстрактному объекту приписывают свойство Р или определяются отношения между объектами, придают два значения истинности: "истина"; "ложь". Соответственно, логика предикатов - двузначная по количеству значений истинности высказываний.

В синтаксическом аспекте субъектно-предикатну структуру высказываний определяют в процессе абстрагирования от их содержания и формализуют средствами искусственно созданного языка, на основании чего осуществляют логические операции над символами, изображающими эти отношения (исчисления предикатов).

Структура логики предикатов (ЛП) - алфавит, правила построения формул из символов алфавита, правила дедуктивного вывода из аксиом новых формул (доказательства теорем), правила интерпретации.

Язык логики предикатов - это система символов, образующих алфавит. К нему относятся символы, введенные в логике высказываний, и новые символы, которые обозначают термины, введенные в логике предикатов.

Алфавит:

- символы, обозначающие элементарные (простые) высказывания (формулы, формальные выражения) Р, Q; - символы, которые обозначают истинностные значения высказываний - И, Л; - символы, обозначающие предметные (индивидные) переменные х, у, z,... (множество предметных переменных может быть бесконечным, можно использовать для образования новых символов индексы); - символы, которые обозначают предметные константы (постоянные) - а, в, с, d,...; - символы, обозначающие n-местные предикаты - РN, QN, ... - символы, обозначающие предметные функции - fNI (верхний индекс обозначает местность предметных функций, а нижний определяет их номер по порядку); - символ, что обозначает терм t; - символ, который обозначает предикатную переменную X; - символ, обозначающий отношение предикации???, - символ, который обозначает квантор всеобщности ; - символ, что обозначает квантор существования ; - символы, которые обозначают пропозициональные связи (логические союзы, логические постоянные): конъюнкция, дизъюнкция, импликация, эквивалентность, отрицание ; - технические символы: ( - левая скобка; ) - правая скобка.

Определим смысл терминов, создающих специфику логики предикатов, и символически изобразим их искусственным языком.

Терм - любая предметная константа или предметная переменная.

Предикат (предикатор) (лат. - срок, в традиционной логике означает свойство, присущее субъекту, если вместо переменной, от которой зависит предикат подставить конкретное значение, предикат становится высказыванием) В логике предикатов понятие "предикат" двоякий по смыслу: 1. Свойство. 2. Отношение.

1. Свойство (качество, признак, характерная черта, атрибут) - все, что присуще предметам, явлениям, процессам объективного мира, событиям и происходит в мире как их сущностная и специфическая особенность. Обозначают термином "одноместный предикат".

Одноместный предикат - логическая функция высказывания, выражающая свойство. Отношение между объектом и его свойствами называют отношением предикации. На языке логики предикатов это означает установление отношения между термином, обозначающим эмпирический объект, и термином, обозначающим абстрактный объект, который выражает свойство Р, присущее эмпирическому объекту. Термин "эмпирический объект" определяют как предметный (индивидный) концепт, термин "абстрактный объект" - как предикатное концепт, а отношения между ними - как двухместное отношение в структуре определенного высказывания. Формальный выражение такого отношения "х <= X", где "я" - предметная переменная для терминов, обозначающих эмпирический объект; "X" - предикатна переменная для терминов, обозначающих абстрактный объект; <= - знак предикации. Пример такого двухместного отношения - высказывания "Украина является республикой", где "Украина" - термин, обозначающий эмпирический объект, то есть Украинское государство, а "республика" - - термин, обозначающий абстрактный объект, то есть свойство, присущее Украинскому государству - "быть республикой" (по форме государственного правления). Последовательная формализация этого высказывания на языке логики предикатов такая: - Р,(х) - одноместная пропозиційна функция; х <=. Р(Х), где "ох" - символ для обозначения предметного (индивидного) концепта "Украина" (Украинская держава); <= - знак предикации; Р{Х) - символ для обозначения основного концепта (свойства) "республика".

Похожие статьи